【转载】梅森数的一些性质

yangchuanju · 发表于 2022-1-6 09:15

梅森数的一些性质
阿谦  数论爱好者
知乎网  https://zhuanlan.zhihu.com/p/82356370

形如Mn=2^n-1的数称为梅森数，若Mp=2^p-1为素数，则称之为梅森素数。

性质1：若n为合数，则Mn为合数；若MN为素数，则p为素数。
证明：
由2^a-1, 2^b-1|2^ab-1知
若n=ab (a,b≠1)为合数，则Ma, Mb|Mn，所以Mn为合数
逆否命题为：若Mn为素数，则p为素数

性质2：n为大于1的奇数时，Mn的所有因子形式为8k-1或8k+1
证明：
令p为Mn的任一素因子（可能是Mn本身），则
（2/p）=（[2+2*(2^n-1)]/p）=(2^(n+1)/p）=1 （括号为勒让德符号）
所以2为p的二次剩余，所有p≡±1（mod 8）

性质3：p为奇素数时，Mn的所有素因子可表示为2kp+1的形式
证明：
令q为Mp的任一素因子
由费马小定理得
q|2^(q-1)-1
∴q|(2^(q-1)-1, 2^p-1)=2^(q-1, p)-1
若(q-1, p)=1，则q|2^(q-1, p)-1=1，矛盾；
所以(q-1, p)=p
所以p|(q-1)，
又因为q-1为偶数，所以存在整数k，使q=2kp+1
例如2^11-1=2047=23*89=(2*11+1)*(8*11+1)

性质4：若素数p≡3 (mod 4)
则2p+1是素数的充要条件是2^p≡1 (mod 2p+1)
证明：
必要性：
由p≡3 (mod 4)和2p+1≡7 (mod 8)
∴（2/(2p+1)）=1 （括号为勒让德符号）
由欧拉判别条件得2^[((2p+1)-1)/2]≡1 (mod 2p+1)
即2^p≡1 (mod 2p+1)
由此我们可以推出若2p+1是形如8k-1素数，
则2p+1|Mp，
所以Mp是合数（p=3除外，因为恰好2p+1=Mp）
例如：23是形如8k-1的素数，所以23|M11，所以M11是合数
充分性：
首先易得2p+1没有大于等于p的素因子。
假设2p+1有素因子q
有q|2p+1|2^p-1
由费马小定理有q|2^(q-1)-1
所以有p|q-1，所以p<q，即2p+1有大于p的素因子，矛盾
所以2p+1是素数

性质5：正整数n 是一个偶完全数当且仅当n=2^(p-1)*Mp ，Mp 是梅森素数
证明：
充分性：
若 n=2^(p-1)*Mp ，
则 σ(n)=σ(2^(p-1)*Mp)=σ(2^(p-1))*σ(Mp)=(2^p-1)*2^p=2n
所以n 是偶完全数 ( σ(n) 为因子和函数，且为积性函数)
必要性：
设 n 是一个偶完全数。令 n=2^s*t ，其中s, t 是正整数且 t 是奇数
所以有σ(n)=σ(2^s*t)=σ(2^s)*σ(t)=(2^(s+1)-1) *σ(t)    (1)
又因为 n 是完全数，所以σ(n)=2n=1^(s+1)*t    (2)
由(1)(2)式得 (2^(s+1)-1)* σ(t)=2^(s+1)*t    (3)
又因为 (2^(s+1)-1, 2^(s+1))=1 ，所以有2^(s+1)|σ(t)
令 σ(t)=2^(s+1)*q ，代入(3)式，得
(2^(s+1)-1)*2^(s+1)*t
即 (2^(s+1)-1)*q=t    (4)
所以 q|t 且q≠t
(4)式等号两边加上 q ，得
T+q=(2^(s+1)-1)*q=2^(s+1)*q=σ(t)    (5)
下面我们证明 q=1
若 q≠1 ，说明 t 至少存在三个不同的正因子 1,q,t
所以σ(t) ≥1+q+t ，和(5)式矛盾，所以 q=1
由(4)式得 t=2^(s+1)-1
由(5)式得 σ(t)=1+t ，即 t 只有 1 和 t 两个正因子，所以 t 是素数
所以 n=2^s*(2^(s+1)-1) ，其中 2^(s-1)-1 是素数
由此可以得出，只要找到哪些数为梅森素数，就可以找出相应的偶完全数

接下来我们讨论如何高效地判别 Mp 是不是一个素数
Lucas-Lehmer判别法：
令 r1=4， rk=r<k-1>^2-2 (mod Mp) (r后的1，k，<k-1>都是r的下标)
则 Mp 是素数当且仅当 r<p-1>≡0 (mod Mp) (r后的<p-1>是r的下标)
Lucas-Lehmer判别法的证明可以见：
[1] H.W.Lenstra, Jr. ,"Primality testing," Studieweek Getaltheorie en Computers, 1-5 September 1980, Stichting Mathematisch Centrum, Amersterdam, Holland.
[2] W. Sierpinski, A Selection of Problems in the Theory of Numbers, Pergamon Press, New York, 1964.
2020.1.15更新

性质6：若 n>1 ，则 Mn 不可能为一个正整数的高次幂
证明：
令 m^k=2^n-1 ，由 n>1 知 m 为大于 1 的奇数
分两种情况讨论
若 k 为大于 0 的偶数，则 m^k-1=2^n-2
即 [m^(k/2)-1]*[m^(k/2)+1]=2*[2^(n-1)-1]
等式左边为 4 的倍数，而等式右边为 2 乘一个奇数，矛盾
若 k 为大于 1 的奇数，则 m^k+1=2^n
即 (m+1)*[m^(k-1)-m^(k-2)+…-m+1]=2^n
而括号里面有 k 项，所以m^(k-1)-m^(k-2)+…-m+1为奇数，矛盾
综上所述，若 n>1 ，则 Mn 不可能为一个正整数的高次幂
编辑于 2020-01-15 00:53

yangchuanju · 发表于 2022-1-6 09:20

梅森数的一个性质给出的启示
百度贴吧哥德巴赫猜想吧
https://tieba.baidu.com/p/6050962709?red_tag=3075948998

liuluojieys
潘承洞潘承彪兄弟所著（初等数论），对梅森数的性质有若干描述，除了以前数学家们给出的若干相关定理以外，还证明了下面两条性质：（1）2^p-1的因子全形如2kp+1,（2）如果素数形如p=4n+3，则2p+1整除2^p-1的充要条件是，2p+1是素数。
不难看出，性质（2）还可以描述为：素数形如p=4n+3，若q=2p+1也是素数，则2^p-1的一个素因子是2kp+1，且k=1。
这就给了我们一个启示，存在两个等差数列，通项公式是p=4n+3，q=2p+1=8n+7，对任意给定的自然数n，如果（数对）（p，q）同时为素数，则2^p-1，必是一个梅森合数。这样的（素数对）（p，q）很容易对两个等差数列双筛得到。
通过研究，发现：对于任意的奇素数p，梅森数2^p-1，（1）有且仅有一个素因子q=2kp+1，k是奇数。
（2）若p=4n+3，则k=4l+1；若p=4n+1，则k=4l+3。（3）可表(2kp+1)(8mp+1)=2^p-1。称为梅森方程。
（4）2^p-1至多存在三个素因子。
于是猜想，当取奇数k>1时，素数q=2kp+1，在什么条件下对应的梅森数2^p-1一定是梅森合数呢？
得到了这个条件，追寻梅森素数就简单了。

雁荡山是我
根据素数作为因子数在2^N-1数列中的分布规律而编选梅森素数。一在2^N-1平方根以内没有奇素数的，这个指数的数就是梅森素数，后面的指数能被这个梅森素数整除的都有这个梅森素数的因子，周期重复的都编上这个因子数。二在2^N-1数列中N是合数的，2^N-1是由前面素因子和新增的因子数组成，只要除去前面的因子数就能得到新的因子数，新的因子数也以这个指数为周期重复出现，并在后面重复的数编上这个因子数。三指数是素数的，剩下的因子素数根据减1能被指数整除来选合，选合后并在后面的周期重复的数编上这些因子数；剩下的因子素数在2^N-1平方根以内选完后，还有梅森数空着，这个梅森数就是梅森素数，并在后面周期重复的数编上为些因子数。

liuluojieys
三指数是素数的，剩下的因子素数根据减1能被指数整除来选合，选合后并在后面的周期重复的数编上这些因子数；剩下的因子素数在2^N-1平方根以内选完后，还有梅森数空着，这个梅森数就是梅森素数，并在后面周期重复的数编上为些因子数。
这一条，请举例说明好吗？

雁荡山是我
指数11数值是2047，2047的平方根内还有43，41，37，29，23，19，13等奇素数（只要往后多编一些，留下的数就更少了），只要将这几个数都减去1，那一个数被11整除，只有23-1能被11整除，2047/23=89，23和89是它的因子数，两个因子数都是新增加的，因为它是梅森合数，凡是指数能被11整除的都有23和89的因子数，后面以11为周期编上因子数23和89；

liuluojieys
事实上，细心研究会发现：2^p-1的素因子
（1）p形如4n-1，存在于等差数列 2p+1，10p+1，18p+1，......，2（4k+1）p+1；之中。
（2）p形如4n+1，存在于等差数列6p+1，14p+1，22p+1，......，2（4k+3）p+1；之中。
式中k取自然数。

yangchuanju · 发表于 2022-1-6 09:25

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-1-6 09:30 编辑

梅森素数指数表
A000043
Mersenne exponents: primes p such that 2^p - 1 is prime. Then 2^p - 1 is called a Mersenne prime.

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609
48-51#素数：57885161,74207281，77232917，82589933

yangchuanju · 发表于 2022-1-6 09:32

梅森素数表（1-18#）
A000668
Mersenne primes (primes of the form 2^n - 1).

1 3
2 7
3 31
4 127
5 8191
6 131071
7 524287
8 2147483647
9 2305843009213693951
10 618970019642690137449562111
11 162259276829213363391578010288127
12 170141183460469231731687303715884105727
13 6864797660130609714981900799081393217269435300143305409394463459185543183397656052122559640661454554977296311391480858037121987999716643812574028291115057151
14 531137992816767098689588206552468627329593117727031923199444138200403559860852242739162502265229285668889329486246501015346579337652707239409519978766587351943831270835393219031728127
15 10407932194664399081925240327364085538615262247266704805319112350403608059673360298012239441732324184842421613954281007791383566248323464908139906605677320762924129509389220345773183349661583550472959420547689811211693677147548478866962501384438260291732348885311160828538416585028255604666224831890918801847068222203140521026698435488732958028878050869736186900714720710555703168729087
16 1475979915214180235084898622737381736312066145333169775147771216478570297878078949377407337049389289382748507531496480477281264838760259191814463365330269540496961201113430156902396093989090226259326935025281409614983499388222831448598601834318536230923772641390209490231836446899608210795482963763094236630945410832793769905399982457186322944729636418890623372171723742105636440368218459649632948538696905872650486914434637457507280441823676813517852099348660847172579408422316678097670224011990280170474894487426924742108823536808485072502240519452587542875349976558572670229633962575212637477897785501552646522609988869914013540483809865681250419497686697771007
17 446087557183758429571151706402101809886208632412859901111991219963404685792820473369112545269003989026153245931124316702395758705693679364790903497461147071065254193353938124978226307947312410798874869040070279328428810311754844108094878252494866760969586998128982645877596028979171536962503068429617331702184750324583009171832104916050157628886606372145501702225925125224076829605427173573964812995250569412480720738476855293681666712844831190877620606786663862190240118570736831901886479225810414714078935386562497968178729127629594924411960961386713946279899275006954917139758796061223803393537381034666494402951052059047968693255388647930440925104186817009640171764133172418132836351
18 259117086013202627776246767922441530941818887553125427303974923161874019266586362086201209516800483406550695241733194177441689509238807017410377709597512042313066624082916353517952311186154862265604547691127595848775610568757931191017711408826252153849035830401185072116424747461823031471398340229288074545677907941037288235820705892351068433882986888616658650280927692080339605869308790500409503709875902119018371991620994002568935113136548829739112656797303241986517250116412703509705427773477972349821676443446668383119322540099648994051790241624056519054483690809616061625743042361721863339415852426431208737266591962061753535748892894599629195183082621860853400937932839420261866586142503251450773096274235376822938649407127700846077124211823080804139298087057504713825264571448379371125032081826126566649084251699453951887789613650248405739378594599444335231188280123660406262468609212150349937584782292237144339628858485938215738821232393687046160677362909315071

yangchuanju · 发表于 2022-1-6 09:42

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-1-18 08:01 编辑

梅森数表（2^2-1至2^163-1）
n digits number
2 1 3=3
3 1 7=7
5 2 31=31
7 3 127=127
11 4 2047=23·89
13 4 8191=8191
17 6 131071=131071
19 6 524287=524287
23 7 8388607=47·178481
29 9 536870911=233·1103·2089
31 10 2147483647<10>=2147483647<10>
37 12 137438953471<12>=223·616318177
41 13 2199023255551<13>=13367·164511353
43 13 8796093022207<13>=431·9719·2099863
47 15 140737488355327<15>=2351·4513·13264529
53 16 9007199254740991<16>=6361·69431·20394401
59 18 576460752303423487<18>=179951·3203431780337<13>
61 19 2305843009213693951<19>=2305843009213693951<19>
67 21 147573952589676412927<21>=193707721·761838257287<12>
71 22 2361183241434822606847<22>=228479·48544121·212885833
79 24 604462909807314587353087<24>=2687·202029703·1113491139767<13>
83 25 9671406556917033397649407<25>=167·57912614113275649087721<23>
89 27 618970019642690137449562111<27>=618970019642690137449562111<27>
97 30 158456325028528675187087900671<30>=11447·13842607235828485645766393<26>
101 31 2535301200456458802993406410751<31>=7432339208719<13>·341117531003194129<18>
103 32 10141204801825835211973625643007<32>=2550183799<10>·3976656429941438590393<22>
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yangchuanju · 发表于 2022-1-18 08:04

p 位数分解式
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yangchuanju · 发表于 2022-1-18 08:19

p 位数分解式
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1103 333 2^1103-1<333>=2207·4126110275598714647074087<25>·1193279152...23<305>
1109 334 2^1109-1<334>=30963501968569<14>·85608965982066833903<20>·2461601921...19<146>·1065805713...67<156>
1117 337 2^1117-1<337>=53617·5209739697...09<78>·6373626673...07<254>
1123 339 2^1123-1<339>=777288435261989969<18>·4321749374...87<86>·3391902395...69<235>
1129 340 2^1129-1<340>=33871·833798113·2682863551...11<139>·9624487049...87<188>
1151 347 2^1151-1<347>=284278475807<12>·81344898763887260484533897<26>·658622107254745112979229913<27>·39146265717288735265327499826695585290297<41>·8311919431...47<103>·6171954834...79<139>
1153 348 2^1153-1<348>=267497·84755607199<11>·1012236096...93<89>·5331087677...29<243>
1163 351 2^1163-1<351>=848181715001<12>·337097300570078978047<21>·1042816042...87<73>·4201777709...63<246>
1171 353 2^1171-1<353>=153606920351<12>·1234867096...13<128>·1690806550...69<215>
1181 356 2^1181-1<356>=4742897·196834168670106625096599487<27>·199668911054466914791190422986407<33>·1808422353...87<73>·9742499217...01<218>
1187 358 2^1187-1<358>=256393·113603023·1761533117965696212626325049982897<34>·766302834531296176581826196660125454171041129<45>·1533278332...69<63>·3486555298...69<204>
1193 360 2^1193-1<360>=121687·8522732620...29<104>·1297065115...17<251>
1201 362 2^1201-1<362>=57649·1967239·8510287·2830858618432184648159211485423<31>·9303484663...59<61>·1354777128...99<253>

yangchuanju · 发表于 2022-1-19 13:11

预测52号梅森素数的指数在91552704上下

梅森素数指数表：
1 2, 2 3, 3 5, 4 7, 5 13, 6 17, 7 19, 8 31, 9 61, 10 89, 11 107, 12 127, 13 521, 14 607, 15 1279, 16 2203, 17 2281, 18 3217, 19 4253, 20 4423, 21 9689, 22 9941, 23 11213, 24 19937, 25 21701, 26 23209, 27 44497, 28 86243, 29 110503, 30 132049, 31 216091, 32 756839, 33 859433, 34 1257787, 35 1398269, 36 2976221, 37 3021377, 38 6972593, 39 13466917, 40 20996011, 41 24036583, 42 25964951, 43 30402457, 44 32582657, 45 37156667, 46 42643801, 47 43112609, 48 57885161，
48-51#素数：57885161,74207281，77232917，82589933

第51号梅森素数指数是82589933，4811740号素数；第41号梅森素数指数是24036583，1509263号素数；第31号梅森素数指数是216091，19292号素数；第21号梅森素数指数是9689，1196号素数；第11号梅森素数指数是107，28号素数；

梅素号码指数素数号素数差间距
21 9689 1196 9582 958.2
31 21609 19292 11920 1192
41 24036583 1509263 24014974 2401497
51 82589933 4811740 58553350 5855335
在41-51号梅森素数之间，平均5855万左右就有一个梅森素数；
用31-51间梅森素数的间距回归，可得回归式：y=5267.7*x^2-139241*x-744558
号数x y 实际间距指数
31 962231 1192 21609
41 4082565 2401497 24036583
51 8456439 5855335 82589933
52 8962771 预测指数 91552704
53 9481638 预测指数 101034342
54 10013041 预测指数 111047383
预测52号梅森素数指数在91552704上下，53号梅森素数指数在101034342上下，54号梅森素数指数在111047383上下，……

yangchuanju · 发表于 2022-1-19 14:46

Lncas-Lehmer梅森素数判定法

采用太阳试除法虽然能判定一个梅森数2^p-1是不是梅森素数，该方法正确有效，但它不是一种简捷的判定方法。
若要判定移动梅森数2^p-1是不是梅森素数，通常采用Lncas-Lehmer梅森素数判定法。

Lncas-Lehmer梅森素数判定法
设p是素数，设第p个梅森数为Mp=2^p-1，定义r1=4，对于k≥2，利用rk≡<rk-1>^2 – 2 (mod Mp)，0≤rk<Mp；可以递归得到一整数序列，那么Mp是素数当且仅当<rp-1>≡0 (mod Mp)。

【附注】文中尖括号<rk-1>和<rp-1>中的k-1、p-1都是下标，<rk-1>和<rp-1>都是整体符号，尖括号是笔者外加的；Mp、rk中的p和k也都是下标。

例：考虑梅森数M5=2^5-1=31。那么r1=4、r2≡4^2-2≡14 (mod 31)、r3≡14^2-2=194≡8 (mod31)和r4≡8^2-2=62≡0 (mod 31)。因为r4≡0 (mod 31)，故可知M5=2^5-1=31是素数。

yangchuanju · 发表于 2022-1-20 08:08

如果p模4余3，p和2p+1都是素数，则2p+1能够整除梅森数2^p-1；
如23|M11，47|M23，167|M83，263|M131，359|M179，383|M191，479|M239，503|M251，……
M11、M23、M83、M131、M179、M191、M239、M251等都不是素数。

如果p模4余1，p和2p+1都是素数，则2p+1不能整除梅森数2^p-1，但能够整除2^p+1。

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