数列求解

lizuchun0015

能否找出这样一个最稀疏的自然数数列，将这个自然数数列从自然数中剔除之后，剩下的数不能形成任何无穷等差数列和无穷等比数列。

cgl_74

请问下，这个题目是你自己想的呢，还是在哪里看到的？有什么出处背景没有呢？
如果希望有人对你的帖子进行回复或者讨论，最好说详细点，更吸引人。
1、这个题目初看上去，好像有些意思。但仔细推敲下，还是有些问题。关键在“最稀疏的自然数数列”是啥意思？
2、很显然，剔除的自然数数列是无穷数列。如果剔除一个有穷数列，剩下的数列总可选出等差数列和等比数列。对于无穷的自然数数列，比容量大小的话，按照康托尔的无穷大集合比较方式，一一对应法看，无穷自然数的容量大小是一样的。，比如所有偶数自然数，与所有奇数自然数的大小是一样的，与所有3的倍数的自然数的大小也是一样的。实数集是比自然数集更大的无穷大。也就是说，任何无穷自然数的集合，大小都是一样的。
3、基于上面比较集合无穷大的大小的方式，那么很容易找一个无穷的自然数数列都可以满足条件。比如剩下的数列是形如1，4，9，16，25，...N^2这种无穷数列，这个数列是无法生成无穷等差数列的。因为无论选择公差多大，到后面相邻两数的差都是大于这个公差的。