证明不定方程 x^2+y^2+z^2=7w^2 无正整数解

波斯猫猫

   题：证明不定方程x^2+y^2+z^2=7w^2无正整数解。

   思路：若x^2+y^2+z^2=7w^2有正整数解，则基础解（x，y，z，w）的四个数中至少有两个互素，且x，

y和z中至少有一个奇数。事实上，若x，y和z全是偶数，显然w也是偶数，这与基础解（x，y，z，w）的四个

数中至少有两个互素相矛盾。

   （1）若x，y和z中只有一个奇数，则w是奇数。不妨令x=2m，y=2n，z=2r+1，w=2e+1，

则x^2+y^2+z^2=4（m^2+n^2+r^2+r）+1，而7w^2=7（2e+1)^2=4(7e^2+7e+1)+3。

   （2）若x，y和z中只有两个奇数，则w是偶数。不妨令x=2m，y=2n+1，z=2r+1，w=2e，

则x^2+y^2+z^2=4（m^2+n^2+r^2+n+r）+2，而7w^2=7（2e)^2=4(7e^2)。

   （3）若x，y和z中有三个奇数，则w是奇数。不妨令x=2m+1，y=2n+1，z=2r+1，w=2e+1，

则x^2+y^2+z^2=4[m（m+1）+n(n+1)+r(r+1)]+3=8P+3(相邻两自然数之积必为偶数，

令2p=m（m+1）+n(n+1)+r(r+1))，而7w^2=7（2e+1)^2=4(7e^2+7e)+7=7[4e(e+1)]+7

=8（7q)+7(2q=e(e+1))。

     从（1）（2）（3）知，方程的两边同除以4或8，其余数都各不相同。故原方程无正整数解。