\(已知：整数a＞0，c＞0，e＞0，求证：\frac{3^{ac}-1}{3^a-1}＝e\)

太阳

\(已知：整数a＞0，c＞0，e＞0，求证：\frac{3^{ac}-1}{3^a-1}＝e\)

yangchuanju

根据最基本的因式分解公式
a^n-b^n=(a-b)*[a^(n-1) +a^(n-2)*b+…+a*b^(n-2)+b^(n-1)]  （n为正整数）
令a=3^a，b=1， n=c有
(3^ac-1)=(3^a)^c-1=(3^a-1)*[(3^a)^(c-1)+(3^a)^(c-2)+…+3^c+1]
故(3^ac-1)/((3^a-1)= [(3^a)^(c-1)+(3^a)^(c-2)+…+3^c+1]
[(3^a)^(c-1)+(3^a)^(c-2)+…+3^c+1]是整数，令其等于e，即得
(3^ac-1)/(3^a-1)=e

wlc1

费尔马1

根据最基本的因式分解公式
a^n-b^n=(a-b)*[a^(n-1) +a^(n-2)*b+…+a*b^(n-2)+b^(n-1)]  （n为正整数）
令a=3^a，b=1， n=c有
3^(ac)－1=(3^a)^c－1^c=(3^a－1)(……)
∴[3^(ac)－1]/(3^a－1)=(3^a－1)(……)/(3^a－1)=(……)
显然(……)是正整数。

费尔马1

yangchuanju 发表于 2022-1-10 20:08
根据最基本的因式分解公式
a^n-b^n=(a-b)*[a^(n-1) +a^(n-2)*b+…+a*b^(n-2)+b^(n-1)]  （n为正整数）
令 ...

杨老师您好:您的方法很好啊！学生我向您学习，谢谢老师！

太阳

费尔马1 发表于 2022-1-10 20:58
根据最基本的因式分解公式
a^n-b^n=(a-b)*[a^(n-1) +a^(n-2)*b+…+a*b^(n-2)+b^(n-1)]  （n为正整数）
令 ...

\(已知：整数a＞0，c＞0，c＝\frac{e}{2}，\frac{3^e-1}{\left( e+1\right)\times\left( 3^c-1\right)}＝a，偶数e＞0，素数u＞0，求证：e+1＝u\)
素数新公式反例找不到了

太阳

忙了好多天，终于素数公式弄明白了

费尔马1

太阳 发表于 2022-1-10 23:38
\(已知：整数a＞0，c＞0，c＝\frac{e}{2}，\frac{3^e-1}{\left( e+1\right)\times\left( 3^c-1\right)}＝ ...

太阳老师啊！yangchuanju老师的证明对还是不对啊？如果不对，您给指点一下，如果对，你给个赞吧！?
再说了，您总是说你有素数公式，错了，世界上根本没有什么素数公式，素数公式是幻想啊！奉劝老师不要在素数公式上消耗精力啊！