直道速度 8m/s，草地速度 4m/s，从直道上 A 点出发，600s 后返回，求圈出面积的最大值

Nicolas2050

1，证明是最大面积。
2，求圈出的最大草地面积。

王守恩

\(1,圆:最大面积=341138,\frac{2x}{8}+\frac{2\pi*x}{4}=600\)
\(2,等边三角形:最大面积=399065,\frac{x}{8}+\frac{2x}{4}=600\)
\(3,圆:最大面积=458366,\frac{2\pi*x}{4}=600\)
\(4,正方形:最大面积=470204,\frac{x}{8}+\frac{3x}{4}=600\)
\(5,长方形:最大面积=480000,\frac{4x/3}{8}+\frac{4x/3+2x}{4}=600\)
\(6,梯形:最大面积=495742,\frac{x+2y\cos(a)}{8}+\frac{x+2y}{4}=600\)
\(7,半圆:最大面积=527482,\frac{2x}{8}+\frac{\pi*x}{4}=600\)
\(8,........？\)

lihp2020

我认为大概是这样的图形
@王守恩   你算算最大面积
假设 在直路走了x分钟 剩下的时间在草地上 就走个优弧  
理论上可以算出来的 但是我不会算   
而且应该可以得到一个规律要面积最大   
那个角a  和 速度比  有关系  
特列 如果直路上速度是无穷  角a=90°   如果直路上速度<=草地速度  角a=0°

再来 猜测 就tana=V1-V2/V1    (V2>V1的时候 不合理 在数学意义上 可能是虚数之类的  要舍弃)

王守恩

lihp2020 发表于 2022-1-15 10:22
我认为大概是这样的图形
@王守恩   你算算最大面积
假设 在直路走了x分钟 剩下的时间在草地上 就走个 ...

\(1,圆:最大面积=\pi*x^2=341138,\frac{2x}{8}+\frac{2\pi*x}{4}=600\)
\(2,等边三角形:最大面积=\frac{x^2\sin(60)}{2}=399065,\frac{x}{8}+\frac{2x}{4}=600\)
\(3,圆:最大面积=\pi*x^2=458366,\frac{2\pi*x}{4}=600\)
\(4,正方形:最大面积=x^2=470204,\frac{x}{8}+\frac{3x}{4}=600\)
\(5,长方形:最大面积=(4x/3)*x=480000,\frac{4x/3}{8}+\frac{4x/3+2x}{4}=600\)
\(6,梯形:最大面积=(y\cos(a)+x)y\sin(a)=495742,\frac{x+2y\cos(a)}{8}+\frac{x+2y}{4}=600\)
\(7,半圆:最大面积=\frac{\pi*x^2}{2}=527482,\frac{2x}{8}+\frac{\pi*x}{4}=600\)
\(8,........？\)

lihp2020

假设 直路走了L米米 那么 草地就走了K=(600-x/8)*4 =2400-L/2
再标记图片的角 为 a  圆的半径为R
sin(a)*R=L/2
K=（2Π -2a）*r  =2400-L/2
（2Π -2a）*r  =2400-sin(a)*R

得到 a关于R的方程
解得
R=4800/(2Π-2a+sina)

面积 等于蓝色扇行 + 绿色三角形
S=(Π-a)RR+R*sina*R*cosa

=R^2*(Π-a+sin(a)*cos(a))

如果牛B
S=(4800/(2Π-2a+sina))^2*(Π-a+sin(a)*cos(a)) 求导 求 最值
我求不来 我认为 函数图像 可导  用execl  带入不同的a  大概近似 求最大值

发现面积最大 大概在 569753.72+

lihp2020

观察1.047  刚好是30° sin a=1/2??  再来验证 如果 直线和草地比是\(1：\sqrt{2}\)  看啊可能 是否是45°？？

Nicolas2050

看了一遍，没一个用到变分法工具，就是一直在小学数学层次计算。这样你数学水平能提高？

时空伴随者

王守恩

Nicolas2050 发表于 2022-1-15 18:44
看了一遍，没一个用到变分法工具，就是一直在小学数学层次计算。这样你数学水平能提高？

尊敬的 Nicolas2050！能把答案告诉我们吗？
当然，介绍一下变分法工具更好。谢谢！

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：