在 ΔABC 中，已知 ∠A=θ ，内切圆半径为定值 r ，求 ΔABC 周长的最小值

mathch701

\begin{equation}
\text { 已知 } \triangle A B C \text { 的 } \angle A=\theta \text { 和內切圓半徑 } r \text { 為定值, 請問在此條件下, } \triangle A B C \text { 的周長最小為何? }
\end{equation}

波斯猫猫

题：已知三角形中，角A和內切圓半徑r為定值，求周長最小值。
提示：设过顶点A，B，C的切线长分别为a（rcotA/2），x，y，欲求周長最小，只需求x+y最小。
由正弦定理有（x+y）/sinA=（x+a）/sinB=（y+a）/sinC=k，有k=2a/(sinB+sinC-sinA)。
故x+y=ksinA=2asinA/(sinB+sinC-sinA)=2asinA/[2sin(B+C)/2.cos(B-C)/2-sinA]≥....
(B=C时等号成立，此时sin(B+C)/2是常量)。
故周長Lmax=2a+2(x+y)=...

luyuanhong