证明：余切函数有级数展开式 cotx = 1／x - x／3 - x^3／45 + …

wilsony

好像用泰勒公式展开计算有困难，该怎么证明这个等式呢？

elim

https://proofwiki.org/wiki/Power ... _Cotangent_Function

elim

楼上涉及的贝努利数简介如下：

wilsony

谢谢elim大师。能否用cosx和1/sinx的泰勒展开级数相乘计算？但问题是在原点附近的
1/sinx的泰勒级数该怎么计算？

elim

wilsony 发表于 2022-1-24 02:45
谢谢elim大师。能否用cosx和1/sinx的泰勒展开级数相乘计算？但问题是在原点附近的
1/sinx的泰勒级数该怎么 ...

设\(\frac{x}{\sin x}=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots\)
即\( x=(b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots)(x-\frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!}+\cdots)\)
由此解出 \(b_0,b_1,b_2,\ldots\).  进而得
\(\cot x=\frac{1}{x}(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+\cdots)(b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots)\)
将上式右边展开成幂级数即得所求．

elim