梅森数探索点滴 广义梅森素数表

大傻8888888

yangchuanju 发表于 2022-1-25 07:48
以2为原根的素数有：
3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173 ...

"以2为原根的素数p，素因子p第一次出现在2^(p-1)-1中，以后指数每增大p-1，又出现一次；
非以2为原根的素数p，素因子p第一次出现在指数等于(p-1)的某个约数中，以后指数每增大p-1的同一个约数，又出现一次。"
应该是不管任何素数p，素因子p第一次出现在2^(p-1)-1中，以后指数每增大p-1，又出现一次。比如素数7，第一次出现在2^(7-1)-1中，以后指数每增大6，又出现一次。

大傻8888888

yangchuanju 发表于 2022-1-25 07:48
以2为原根的素数p，素因子p第一次出现在2^(p-1)-1中，以后指数每增大p-1，又出现一次；
非以2为原根的素数 ...

我在28楼的回复不准确。
任何素数或者素因子p第一次出现在2^[(p-1)/2]-1中，以后指数每增大(p-1)/2，又出现一次。只不过为什么是这样，具体成立不成立我暂时还不能证明。不知哪位先生可以证明？

大傻8888888

yangchuanju 发表于 2022-1-27 14:37
仍不全对，有的素数第一次出现及循环出现周期是（p-1），这些素数都是以2为原根的素数；
其余素数第一 ...

我在51楼的回复确实仍然不准确。
1.如果2^n-1是梅森素数，则这个梅森素数的素因子p第一次出现在2^(2n)-1中，以后指数每增大n又出现一次。
2.如果p不是梅森素数，则素因子p第一次出现在2^[(p-1)/2]-1中，以后指数每增大(p-1)/2，又出现一次。

大傻8888888

yangchuanju 发表于 2022-1-27 16:25
梅森素数2^3-1=7，素因子7先后出现在n=3,6,9,12……的2^n-1之中，应该认为素因子7第一次出现在n=3的2^n-1 ...

56楼应该增加如下：
3.如果2^n-1是若干个素数之积，其中所有大于等于2n+1的素数在指数每增加n这所有素数的素因子都会再次出现。
或者干脆把56楼改为：
1.如果2^n-1是梅森素数，则这个梅森素数的素因子p第一次出现在2^(2n)-1中，以后指数每增大n又出现一次。
2.如果2^n-1是若干个大于等于两个素数之积，其中所有大于等于2n+1的素数在指数每增加n时，这所有素数的素因子都会再次出现。
当然如果还有反例出现，则2有可能不成立。

大傻8888888

FF        113        35        10384593717069655257060992658440191<35>=3391×23279×65993×1868569×1066818132868207<16>
3391-1=3390=113×30
23279-1=23278=113×206
65993-1=65992=113×584
1868569-1=1868568=113×16536
1066818132868207-1=1066818132868206=113×9440868432462
由上面可以看出如果2^p-1有素因子，则这些素因子都是2np+1形式的素数 。如果没有2np+1形式的素因子则2^p-1是梅森素数。

大傻8888888

yangchuanju 发表于 2022-2-13 07:58
梅森数都是模8余7的，但它的素因子即有模8余7的，也有模8余1的，没有模8余3和余5的；
梅森数都是模6余1 ...

如果2^p-1有素因子，则这些素因子都是2np+1形式的素数 。
其中n=1，2，3必有3的倍数，其中n=1,2.3.4,5必有5的倍数........以此类推其中n=1,2,3，4.......q必有q的倍数。[q是小于等于根号（2^p-1）/（2p+1）的素数]
设（2^p-1）/（2p+1）=x
则（√x）/ln（√x）是根号（2^p-1）/（2p+1）其中的素数的个数
所以判定2^p-1是否有素因子，只需要试除这（√x）/ln（√x）个素数即可
以上观点是否正确，请yang先生指正

大傻8888888

yangchuanju 发表于 2022-2-16 15:58
现今已知2^41-1=2199023255551=13367*164511353，
假定我们并不知道它的任何一个素因子，请用试除法分解 ...

对不起，106楼的帖子其中符号有误，现更正如下：
如果2^p-1有素因子，则这些素因子都是2np+1形式的素数 。
其中n=1，2，3必有3的倍数，其中n=1,2.3.4,5必有5的倍数........以此类推其中n=1,2,3，4.......q必有q的倍数。[q是小于等于√（2^p-1）/（2p+1）的素数]
设√（2^p-1）/（2p+1）]=x
则x/lnx是√（2^p-1）/（2p+1）其中的素数的个数
所以判定2^p-1是否有素因子，只需要试除这x/lnx个素数即可，其中x/lnx是个大约值，实际值可以用埃氏筛法求出。

大傻8888888

yangchuanju 发表于 2022-2-17 13:59
仍以2^41-1=2199023255551=13367*164511353为例，
2199023255551的平方根=1482910，1482910内共112957 ...

     还是举例说明如下：
     仍以2^41-1=2199023255551<13>=13367*164511353为例，
     2199023255551的平方根=1482910，
    （1482910-1）/82≈18084，该数值实际上是2*41*n+1型奇数的个数，小于18084开方的素数是131，用小于等于131的奇素数筛去2*41*n+1型中 的合数，其中如果n=m时2*41*n+1是3的倍数，那么n=m+3k时2*41*n+1都是3的倍数，以此类推如果n=m时2*41*n+1是p的倍数，那么n=m+pk时2*41*n+1都是p的倍数，最后得出2*41*n+1型素数和部分伪素数，这个值大于等于其中2*41*n+1型素数2815个，如果2^41-1试除这些2*41*n+1型素数和部分伪素数都除不尽，则2^41-1是梅森素数，当然如能除尽，不管是素数还是伪素数，则2^41-1就不是梅森素数。这个方法判断梅森素数虽然也比较麻烦，但是比试除1482910内共112957个素数要容易得多。这是我的一点体会，不当之处难免，请谅！