正方形 ABCD 中，P 在 BC 上，X,Y,Z 是 ΔPAB,ΔPCD,ΔPDA 的内心。证：PXYZ 四点共圆

kanyikan

王守恩

期待各位不同的解法。

\(记正方形边长=1,∠PAB=2a,∠PDC=2b,∠ZXA=x,∠ZYD=y\)

\(因为∠PXA=∠PYD=135^\circ,主帖即是证x+y=90^\circ,由下解得x+y=90^\circ\)

\(\tan(2a)+\tan(2b)=1,\frac{\sin(x)}{\sin(45^\circ+x)}=\frac{\sin(45^\circ+a)\sin(45^\circ-b)}{\sin(45^\circ)\cos(a+b)},\frac{\sin(y)}{\sin(45^\circ+y)}=\frac{\sin(45^\circ-a)\sin(45^\circ+b)}{\sin(45^\circ)\cos(a+b)}\)

王守恩

王守恩 发表于 2022-1-24 09:42
期待各位不同的解法。

\(记正方形边长=1,∠PAB=2a,∠PDC=2b,∠ZXA=x,∠ZYD=y\)

谢谢 kanyikan 鼓励！三角函数解题我还是跟陆老师，波斯猫猫，天山草......学的，基本功太差。

\(记正方形边长=1,∠PAB=2a,∠PDC=2b,∠ZXA=x,∠ZYD=y\)

\(因为∠PXA=∠PYD=135^\circ,主帖即是证x+y=90^\circ,由下解得x+y=90^\circ\)

\(\tan(2a)+\tan(2b)=1,\frac{\sin(x)}{\sin(45^\circ+x)}=\frac{\sin(45^\circ+a)\sin(45^\circ-b)}{\sin(45^\circ)\cos(a+b)},\frac{\sin(y)}{\sin(45^\circ+y)}=\frac{\sin(45^\circ-a)\sin(45^\circ+b)}{\sin(45^\circ)\cos(a+b)}\)

\(去掉45^\circ,是这样。\)
\(1=\tan(2a)+\tan(2b)=\frac{2\sin(x)}{\sin(x)+\cos(x)}+\frac{\sin(a-b)}{\cos(a+b)}=\frac{2\sin(y)}{\sin(y)+\cos(y)}-\frac{\sin(a-b)}{\cos(a+b)}=1\)

kanyikan

本题是以下题的特例：

denglongshan

https://bbs.emath.ac.cn/thread-17486-3-1.html