求通项公式

王守恩

Treenewbee 发表于 2024-3-4 10:57
{505,5005,50005,500005,500505,5000005,5000505,5050005,50000005,50000505,50005005,50500005,5000 ...

x由数码0, 5组成(个位数=5)，x*x由数码0, 2, 5组成。

最大3位数x=505,
最大4位数x=5005,
最大5位数x=50005,
最大6位数x=500505,
最大7位数x=5050005,
最大8位数x=50500005,
最大9位数x=505000505,
......
1个5, x最小=5,
2个5, x最小=505,
3个5, x最小=500505,
4个5, x最小=5005050005,
5个5, x最小=500050500005005,

  

Treenewbee

1. Table[{n,Select[Table[5*(10^(n-1)+1+10*FromDigits@IntegerDigits[k,2]),{k,0,2^(n-2)}],Union@IntegerDigits[#^2]=={0,2,5}&]},{n,12}]//MatrixForm

复制代码

1        {}
2        {}
3        {505}
4        {5005}
5        {50005}
6        {500005,500505}
7        {5000005,5000505,5050005}
8        {50000005,50000505,50005005,50500005}
9        {500000005,500000505,500005005,500500005,505000005}
10        {5000000005,5000000505,5000005005,5000050005,5005000005,5005050005,5050000005,5050005005}
11        {50000000005,50000000505,50000005005,50000050005,50005000005,50050000005,50050000505,50500000005,50500005005}
12        {500000000005,500000000505,500000005005,500000050005,500000500005,500000500505,500050000005,500050500005,500500000005,500500000505,505000000005,505000005005,505000050005}

王守恩

Treenewbee 发表于 2024-3-4 14:23
1        {}
2        {}
3        {505}

1个5, x最小=5,
2个5, x最小=505,
3个5, x最小=500505,
4个5, x最小=5005050005,
5个5, x最小=500050500005005,
.....

Treenewbee

王守恩 发表于 2024-3-4 14:59
1个5, x最小=5,
2个5, x最小=505,
3个5, x最小=500505,

1. Table[{n,Min@Select[1/2*Total/@(10^Subsets[Range[n*(n+1)/2],{n}]),Union[{0},IntegerDigits[#^2]]=={0,2,5}&]},{n,5}]//MatrixForm

复制代码

1        5
2        505
3        500505
4        5005050005
5        500050500005005

王守恩

Treenewbee 发表于 2024-3-4 22:28
1        5
2        505
3        500505

x由数码0, 5组成(个位数=5)，x*x由数码0, 2, 5组成。

1个5, x最小=5,
2个5, x最小=505,
3个5, x最小=500505,
4个5, x最小=5005050005,
5个5, x最小=500050500005005,
6个5, x最小=5000050050000005000505,
7个5, x最小=5000050005005000000000500000505,
.....
没有规律！不过就是没有规律才有魅力！

王守恩

老规矩。我们还是找个无限数字串。先来个引子。

1,
3,1,
2,4,1,
2,6,3,1,
2,4,9,3,1,
2,4,13,6,3,1,
2,4,9,19,6,3,1,
2,4,9,27,13,6,3,1,
2,4,9,19,39,13,6,3,1,
2,4,9,19,55,27,13,6,3,1,
......
4, 9, 19, 39, 79, 159, 319, 639, 1279,...=5*2^n-1
6, 13, 27, 55, 111, 223, 447, 895, 1791,...=7*2^n-1
电脑编排我还是不会。谢谢！

elim

序列 \(\,(*)\;\;1,2,\frac{1}{2},3,\frac{1}{3},\frac{2}{3},4,\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},5,\frac{1}{5},\ldots\) 的通项是
\(a_n =k(n)\left\lfloor\dfrac{1}{1+h(n)}\right\rfloor+\dfrac{h(n)}{k(n)}.\)
其中 \(\small h(n)=\dfrac{2(n-1)-(k(n)-1)k(n)}{2},\;k(n)=\left\lfloor\dfrac{1+\sqrt{8n-7}}{2}\right\rfloor\)
这个公式是推导出来的, 不是编程凑出来的：从序列 \((*)\) 知道整数项
\(a_n=k\) 之前有 \(1+2+\ldots+(k-1)=\small\displaystyle\sum_{m=1}^{k-1}m=\frac{k(k-1)}{2} \) 项.
所以 \(n=1+\frac{k(k-1)}{2},\;k=\frac{1+\sqrt{8n-7}}{2}.\) 一般地，序列的前\(n\)项中的
最大整数是\(\small k(n)=\lfloor(1+\sqrt{8n-7})/2\rfloor\), 其序号是\(\frac{2+k(n)(k(n)-1)}{2}.\)
若\(h(n):=n-\frac{2+k(n)(k(n)-1)}{2}=0,\)则\(a_n=k(n),\)否则\(a_n=\frac{h(n)}{k(n)}.\)

王守恩

谢谢 elim！《数学中国论坛》的学习氛围还是很好的。

分子=1, 2, 1, 3, 1, 2, 4, 1, 2, 3, 5, 1, 2, 3, 4, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 1, 2,
分母=1, 1, 2, 1, 3, 3, 1, 4, 4, 4, 1, 5, 5, 5, 5, 1, 6, 6, 6, 6, 6, 1, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 1, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 1, 9, 9,

就这么简单两串数,  OEIS没有,  编程不会有答案。
人脑可以推导。谢谢 elim！
谢谢各位网友！

elim

王守恩 6 楼的通项公式
\(a_{n}=\large\frac{n-1}{\big[\sqrt{2n}\ \big]}+\frac{\big[\sqrt{2n}\ \big]\big(2\big[\sqrt{2n-1}\ \big]-2\big[\sqrt{2n-2}\ \big]-1\big)+1}{2}\)
\(\quad[x]:=\lfloor x+0.5\rfloor\) 表示四舍五入函数
用 Mathematica 验证如下：

这个公式是如何推导的没有明确交代。

王守恩

x由数码0, 5组成(个位数=5)，x*x由数码0, 2, 5组成。
老规矩。我们还是想找个无限数字串。先来个引子。

1,   1表示: x=505,
2,1,   2,1表示: x=500505,
2,4,1,   2,4,1表示: x=50050000505,
3,1,4,2,    3,1,4,2表示: x=500050500005005,
4,2,6,3,1,
6,3,1,11,4,2
9,4,2,13,6,3,1,
13,6,3,1,19,9,4,2
19,9,4,2,27,13,6,3,1,
27,13,6,3,1,39,19,9,4,2
39,19,9,4,2,55,27,13,6,3,1,
55,27,13,6,3,1,79,39,19,9,4,2
79,39,19,9,4,2,111,55,27,13,6,3,1,
111,55,27,13,6,3,1,159,79,39,19,9,4,2,
......
{4, 6, 9, 13, 19, 27, 39, 55, 79, 111, 159, 223, 319, 447, 639, 895, 1279, 1791, 2559, 3583, 5119, 7167}

1. Table[(6 - Cos[n*Pi])*2^Floor[n/2] - 1, {n, 0, 28}]

复制代码

还有比这更短的无限数字串？好像没有了。