正数 a+b+c=2，证：(a-1)^2/b+…+(c-1)^2/a≥[(a^2+b^2)/(a+b)+…+(c^2+a^2)/(c+a)]/4

popo987654 · 发表于 2022-1-29 12:58

不等式的证明，请教思路

popo987654 · 发表于 2022-3-1 23:37

请教各位这题的方法

lxzxxy · 发表于 2022-3-2 16:35

用柯西证明好像会放缩过度，楼主试过哪些方法？

波斯猫猫 · 发表于 2022-3-22 19:08

本帖最后由波斯猫猫于 2022-3-22 19:09 编辑

思路：由正数 a+b+c=2，

欲证(a-1)^2/b+(b-1)^2/c+(c-1)^2/a≥[(a^2+b^2)/(a+b)+(b^2+c^2)/(b+c)+(c^2+a^2)/(c+a)]/4成立，

只需证(a-b-c)^2/b+(b-a-c)^2/c+(c-a-b)^2/a+2[(ab/(a+b)+bc/(b+c)+ca/(c+a)]≥4成立.

令f(a,b,c)=(a-b-c)^2/b+(b-a-c)^2/c+(c-a-b)^2/a+2[(ab/(a+b)+bc/(b+c)+ca/(c+a)]，

用求偏导的方法即可求得最值(4)点a=b=c=2/3.

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正数 a+b+c=2，证：(a-1)^2/b+…+(c-1)^2/a≥[(a^2+b^2)/(a+b)+…+(c^2+a^2)/(c+a)]/4

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