一个计算任意四边形面积的俄罗斯奇特公式及公式的证明

天山草

上面这个公式的 S 表示任意四边形的面积。对于凹四边形、或没有外接圆的四边形，公式也都适用。

这个公式以前在本论坛发过，没有人能够证明。由于原帖找不到了，现在重发一次。但是这一次是给出了证明的。

这公式也曾在【数学研发论坛】发过，不久前王守恩对公式进行了证明。王守恩的方法是巧妙的，只是编程方面有些欠缺，最后一步烦琐了。

本人将王守恩的方法整理如下：



附上程序代码如下：

1. Clear["Global`*"];
   
2. a = Sin[x]/Sin[x + w];  b = Sin[y]/Sin[y + z];   c = Sin[z]/
   
3. Sin[z + y];   d = Sin[w]/Sin[w + x];
   
4. S = (Sin[x] Sin[w])/(2 Sin[x + w]) + (Sin[y] Sin[z])/(2 Sin[y + z]) ;
   
5. S0 = (a + b + c + d)^2/(
   
6.    Cot[(z + w)/2] + Cot[(\[Pi] - z - y)/2] + Cot[(x + y)/2] +
   
7.     Cot[(\[Pi] - x - w)/2])  - (a + c - b - d)^2/(
   
8.    Tan[(z + w)/2] + Tan[(\[Pi] - z - y)/2] + Tan[(x + y)/2] +
   
9.     Tan[(\[Pi] - x - w)/2]) ;
   
10. Simplify@ExpandDenominator@Together[(4 S)/S0]

复制代码

程序运行结果为 1， 这就证明了图中的公式是正确的。

天山草

不失一般性，令 AC=1  对公式进行验证：



在程序中也可计算 \(4S-S0\)，结果为 \(0\)。

王守恩

谢谢天山草！实用的是这个公式。好像没有反例。谢谢天山草！

四边形，已知 3 边与 3 边所夹 2 角，求面积 S。

设 3 边为 a,b,c，a,b 所夹角为 1，b,c 所夹角为 2，则

\(\ S=\frac{a*b\sin(1)+b*c\sin(2)-c*a\sin(1+2)\ \ }{2}\)

疯狂钻石

可以直接分为两个三角形来计算是吧