太阳新春贺礼 梅森素数判断公式

yangchuanju

太阳新春贺礼  梅森素数判断公式

二元不定方程判断梅森素数
已知：素数a>0，未知数x和y，(ax+1)×(ay+1)-2^a+1=0，方程没有正整数解
结论：2^a-1必定是素数。

yangchuanju

证明：
已知：素数a>0，未知数x和y，(ax+1)×(ay+1)-2^a+1=0，方程没有正整数解
如果给定x(或y)，则对于y(或x)方程变成一元一次方程。

梅森数2^a-1不论是不是素数，都可表示成2ki*a+1或2ki*a+1的乘积；
式中a是素数，ki是≥1的正整数，i是有限数，等于1,2，……i。
如果该梅森数不是梅森素数，不论它有几个素因子，都可表示成(2k1*a+1)×(2k2*a+1)=(ax+1)×(ay+1)的形式，式中x=2*k1, y=2*k2都是非0正整数；
如果该梅森数是梅森素数，硬它表示成(2k1*a+1)×(2k2*a+1)=(ax+1)×(ay+1)的形式，式中x=2*k1, y=2*k2必有一个等于0。

如果方程有正整数解，即有正整数x和y使得方程成立，2^a-1便不是素数；
反之如果方程没有正整数解，即没有正整数x和y使得方程成立，2^a-1便是素数；
即找到了一个梅森素数。

大傻8888888

∵素数a>0，未知数x和y，(ax+1)×(ay+1)-2^a+1=0
∴(ax+1)×(ay+1)＝2^a－1
∴ａ，x，y是自然数时2^a－1不可能是任何素数
如果2^a－1是素数，则(ax+1)×(ay+1)没有正整数解，所以这个梅森素数判断公式没有任何价值。

yangchuanju

【转载】太阳广义梅森素数判断公式
已知：素数a>0，未知数x和y，(ax+1)×(ay+1)-(3^a-1)/2=0，方程没有正整数解
结论：(3^a-1)/2必定是素数。

已知：素数a>0，未知数x和y，(ax+1)×(ay+1)-(7^a-1)/6=0，方程没有正整数解
结论：(7^a-1)/6必定是素数。

已知：整数b>0，素数a>0，未知数x和y，(ax+1)×(ay+1)-(b^a-1)/(b-1)=0，方程没有正整数解
结论：(b^a-1)/(b-1)必定是素数。——译者注：方程式进行了适当改写。

yangchuanju

【质疑】太阳梅森数分解公式
方程(ax+1)×(ay+1)-(2^a-1)/2=0，素数a>0，未知数x和y，
如果方程有n组正整数解，那么2^a-1分成n/2个素数的乘积。
——转译自《二元一次方程判断梅森素数》7楼。

方程(ax+1)×(ay+1)-(2^a-1)/2=0，素数a>0，未知数x和y，
如果方程有n组正整数解，那么2^a-1分成n个素数的乘积。
——转译自《二元一次方程判断梅森素数》12楼。

方程(ax+1)×(ay+1)-(2^a-1)/2=0，素数a>0，未知数x和y，
找到一组正整数解，x>y，素数ax+1，结论：2^a-1分成两个素数的乘积。
——转译自《二元一次方程判断梅森素数》13楼。

质疑1：方程的(2^a-1)项为什么又要除以2？
质疑2：如果方程有n组正整数解，到底是2^a-1能分成n个还是n/2个素数的乘积？
质疑3：找到一组正整数解，x>y，素数ax+1，梅森数2^a-1就能分成两个素数的乘积吗？

yangchuanju

纵观各种因式分解方法，虽然试除法行之有效，但它的效率是最低的，仅可用于分解一些小合数。
太阳先生试图用这种方法寻找亿位大素数，可以说是不现实的。

太阳

方程(ax+1)×(ay+1)-(2^a-1)/2=0，素数a>0，未知数x和y，
如果方程有n组正整数解，那么2^a-1分成n/2个素数的乘积，是错误

yangchuanju

太阳 发表于 2022-2-2 07:50
方程(ax+1)×(ay+1)-(2^a-1)/2=0，素数a>0，未知数x和y，
如果方程有n组正整数解，那么2^a-1分成n/2个素数 ...

梅森素数的判定
若合数Mp=2^p-1=m*n，m是较小的素数，则m≡1(mod p)； 若m≡1(mod p)，对于每一个小于√ (Mp)的素数m，m不整除Mp，则Mp=2^p-1是素数。
若m≡1(mod p)，p＜m≤√ (Mp)不存在素数m，则Mp=2^p-1是素数。
根据费马小定理，(2，p)=1，2^(p-1) ≡1(mod p)，则2^p≡2(mod p)，则2^p-1≡1(mod p)。
也就是说小于p的素数都不能整除Mp=2^p-1，所以只用验证p＜m≤√ (Mp)就行了。

例如：1、M11=2^11-1=23×89，23≡1(mod 11)，其它梅森合数自已验证。
2、M13=2^13-1=8191是一个素数。
证明：设m=13k+1，13k+1<√ (8191)，k=1、2、3、4、5、6，k=4或6时m是素数，m=13k+1=53或m=13k+1=79，但是53不整除8191，79 不整除8191，所以8191是一个素数。
3、M7=2^7-1=127是一个素数
设m=7k+1，7k+1＜√ (127)，k=1，m=7k+1=8不是素数，也就是说p＜m≤√ (Mp)内没有素数m，所以M7=2^7-1=127是一个素数。

原文来自网络，作者和出处不详。原文为图片，译者根据原文进行了改写。

太阳

已知：整数b，素数a>0，未知数x和y，(ax+1)×(ay+1)-(b^a-1)/(b-1)=0，方程没有正整数解
结论：(b^a-1)/(b-1)必定是素数。——译者注：方程式进行了适当改写。这样改写错误的，b表示什么？

太阳

\(已知:整数a＞0，素数c＞0，未知数x和y，\left( cx+1\right)\times\left( cy+1\right)-\frac{a^c-1}{a-1}＝0，方程没有正整数解\)
\(结论:\frac{a^c-1}{a-1}必定是素数\)