第一、第二代微积分与非标准分析的异同及瓜葛

沈卫国

最后强调一下牛顿、莱布尼兹的所谓“第一代微积分”（涉及“无穷小概念的”）与柯西、外尔斯特拉斯等的“第二代微积分”（所谓标准分析）以及所谓的“非标准分析”之间的关系和异同。以往对此点，笔者并未见到有论者曾经给出过深刻的分析。
对于能够求出正确的导数这点，第一代和第二代微积分二者实际上没有区别。但第一代微积分有一个无理由（或理由不充分）地“舍弃高阶无穷小”的问题。就算给出了“理由”，也极其牵强：说是这个“高阶无穷小”实在是太小了，不值得保留，就舍了。但如此的解释等于承认其所求出的导数只是一个近似值，尽管是“高阶近似值”。那么，既然如此，为什么不把这个“高阶无穷小”保留，而给出一个精确的导数值呢？不是它无足轻重吗？既然如此，又何必非要舍弃，加在结果中求得精确值，岂不是更好？如果第一代微积分仅仅因为使用上的方便就取这个“高阶近似值”的话，难道数学就只能是放弃追求稍微复杂一些的精确值，而仅仅满足于简单些的近似值？更何况也没见任何数学大家公开承认他们使用的导数值只是一个近似值的。此外，普遍认为，第一代微积分产生了著名的贝克莱悖论，而第二代微积分目的很明确，就是为了解决这个矛盾应运而生的。否则第一代微积分已经求出正确的导数值了，还需要第二代微积分吗？也就是说，第二代的极限法微积分当然不会承认自己求出的也是一个近似的导数值（与第一代一样），而是它认为自己求出的不可达极限就是一个精确的导数值，并以此区别于第一代微积分。但第二代微积分并没有解释究竟为什么第一代微积分无故“舍弃高阶无穷小”虽然不对，但却直接由这个“不对”的过程居然也求出了正确的导数值。这实际上是需要给出一个明确的解释的。因此，在第二代微积分不得不面对一个尴尬的逻辑矛盾，就是：要么彻底解释第一代微积分究竟为什么在一个错误的理论、过程、步骤的指导下居然求出了正确的导数。要么就必须坦然承认第一代微积分的“舍弃高阶无穷小”步骤，实际上与第二代微积分的“取不可达极限”一致。没有本质的区别。否则如何解释二者都可以求出正确的导数？总不能光说自己对，而不指出自己否定、替代的东西错在何处、同时还居然求出了正确的结果吧？如此，第二代极限法微积分当然只有一途，就是明确指出它的所谓的“不可达极限值”，究竟是如何取代或解释了第一代微积分的“舍弃高阶无穷小”的。实际上这一点是从来没有被认真给出的。一般只是认为，第二代的极限法微积分，用这个不可达极限值取代了第一代的“舍弃高阶无穷小”。但是，既然二者等价，第二代的极限法微积分的“不可达极限”可以取代、解释第一代微积分的“舍弃高阶无穷小”，那么，同理，凭什么就不能反过来，用第一代的“舍弃高阶无穷小”，来取代、解释第二代极限法微积分的“不可达极限”呢？果不其然，“非标准分析”应运而生了。它实际上通过构造“超实数”体系，用一个“取标准数”的步骤，等于又回到了第一代微积分的“舍弃高阶无穷小”步骤，并声称其与第二代微积分等价。如此，折腾了几百年，三个微积分体系居然殊途同归，是一回事。我想，任何严肃不苟且的学者，都不得不深思吧？总之，    第二代的所谓“标准分析”否定了第一代，非标准分析又称与第二代等价，可以互推。但非标准分析实质上又是与第一代等价的，而第二代的标准分析的信奉者，并未见有谁出来公开否定非标准分析。如此矛盾、混乱的逻辑脉络，难道还不应该予以彻底澄清吗？
  读者可以看出，在笔者给出的新导数定义及相应的导数求法下，以上逻辑混乱、矛盾自然不再存在。





                     新旧导数定义及求导过程对比动态图

图中△y1/△x1即本文中的△h/△g，△x1在图中恒为“1”，而△y/△x为传统求导所依赖的曲线的增量比

            




                参考文献

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