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吃鱼悖论:难倒天下数学家

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发表于 2022-2-7 20:59 | 显示全部楼层 |阅读模式
吃鱼悖论:难倒天下数学家
假设有一个大鱼缸,现在我们设计一个小游戏:先假设鱼缸里一共有三条鱼,所有鱼用非0自然数依次一一编号,即1,2,3。游戏规则为:如果一条鱼遇到比它的编号小的鱼,它就将比它自己编号小的鱼吃掉,如果它遇到比自己编号大的鱼,那么它就会被比它编号大的鱼吃掉。
按照这样的游戏规则,最后的结果一定是,鱼缸里最后只剩下一条鱼,即编号最大的鱼,3号鱼。
假设鱼缸里一共有10条鱼,按照上述的游戏规则,鱼缸最后也一定是只剩下一条鱼,即最大编号的10号鱼。
假设鱼缸里有100条、1000条、10000条鱼,最后的结果都是一样的,鱼缸里最后只剩下一条最大编号的鱼。
现在我们做一个终极游戏:假设鱼缸里有无穷多条鱼,所有的鱼用自然数一一编号,依然是上述的游戏规则:编号大的鱼会吃掉编号小的鱼,编号小的鱼会被编号大的鱼吃掉,并且保证,仼何两条鱼都会相遇。
那么请大家想一下,鱼缸里最后会是什么情况?
按照前面所描述的内容,最常规的想法就是:鱼缸里最后只剩下一条鱼。
但这个答案却是错误的,真实的答案是,鱼缸里最后没有鱼,原因有两点:
(1):在所有的自然数中,仼给一个自然数y,一定能找到比它大的自然数,例如y+1就比y大。所以,仼何一条自然数编号的鱼,一定会遇到比它编号大的鱼从而被吃,所以,仼何一条鱼都会被吃掉,所以鱼缸里没有鱼。
(2):假设鱼缸里还有鱼,那么它一定是编号最大的鱼,但根据自然数皮亚诺公理,不存在最大的自然数,所以也就不存在最大自然数编号的鱼,所以鱼缸里没有鱼。
请大家思考一下:鱼缸里怎么会吃得一条鱼都不剩的?就像你逆向思考一下:假设一个鱼缸里本来一条鱼都没有,也没有人往鱼缸里放鱼,忽然从鱼缸里游出一条大鱼来,那么,这条大鱼是怎么凭空多出来的?
可能有些“数学家”们会一副满不在乎的表情说,没有鱼就没有鱼呗,有什么大不了的?那就是小瞧这道题的威力了,因为这道题如果处理不好,那就会产生一个非常严重的后果:数学大厦轰然倒塌。


发表于 2022-2-7 23:38 | 显示全部楼层
鱼缸里不会有无穷条鱼,如果有,鱼吃鱼的过程人是看不到终结的.所以这个模型没有现实能行性.
但在数学中,对应的简化的模型可以是这样:
{nk} 为依次被消失的数,过程的第k步的结果是R(k)=N+{n1,n2,,nk}=km=1R(m)
lim 毫无悬念.无悖可陈.
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发表于 2022-2-7 23:50 | 显示全部楼层
主贴其实反映了实在世界是有穷世界,其中的一叨”操作”都是需要时间的,鱼吃鱼鱼也生鱼, 事情不按人的规则运行不足为怪,但数学在数量上可以描述现实,也可以描述超现实.
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 楼主| 发表于 2022-2-8 15:47 | 显示全部楼层
elim 发表于 2022-2-7 15:38
鱼缸里不会有无穷条鱼,如果有,鱼吃鱼的过程人是看不到终结的.所以这个模型没有现实能行性.
但在数学中 ...

首先,这是一个类似于希尔伯特无穷旅馆的数学模型,本就没有现实意义。
第二,由吃鱼游戏的游戏设定,可知,无论鱼缸中的鱼是有限的还是无限的,都能保证鱼缸非空,具体来说就是,仼取鱼缸中两条自然数编号的鱼a和b,必有a≠b,将a和b比大小,小者从鱼缸中消失(被吃掉),大者留在鱼缸中,由此可知,无论什么情况下,鱼缸中至少会留下一条鱼,所以鱼缸永远不空。
但却推导出鱼缸为空(没有鱼),这便构成矛盾。
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发表于 2022-2-8 16:21 | 显示全部楼层
无论有限集还是无限集,集合元素能一一对应,就说元素个数一样多。
“一样多”就是这样定义的,你要咋的?
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发表于 2022-2-8 17:15 | 显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2022-2-8 02:16 编辑
门外汉 发表于 2022-2-8 00:47
首先,这是一个类似于希尔伯特无穷旅馆的数学模型,本就没有现实意义。
第二,由吃鱼游戏的游戏设定,可 ...


在有限的时间内鱼缸永远不空。等价于无穷时间后鱼缸才空。所以出现屁个矛盾。
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 楼主| 发表于 2022-2-8 18:01 | 显示全部楼层
elim 发表于 2022-2-8 09:15
在有限的时间内鱼缸永远不空。等价于无穷时间后鱼缸才空。所以出现屁个矛盾。

按照游戏规则,两鱼相遇,必有消失一个留一个,所以可以保证鱼缸永远不空,你似乎不认可这个结论啊。而且,你的回答没逻辑啊,你认为有限的情况不空无限的情况就空了,总得说明原因吧?
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发表于 2022-2-8 20:22 | 显示全部楼层
门外汉 发表于 2022-2-8 03:01
按照游戏规则,两鱼相遇,必有消失一个留一个,所以可以保证鱼缸永远不空,你似乎不认可这个结论啊。而且 ...

任何编号的鱼在某个(有限)时刻必消失,所以无限时间后任何编号的鱼都消失。
但是永远只有有限长时间,所以只有有限条鱼被消失。

数学世界中没有时间,或数学操作不像鱼吃鱼耗时有正的下限。所以如果鱼缸里有无穷条鱼,那么鱼缸里永远有无穷多条鱼。
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 楼主| 发表于 2022-2-8 22:37 | 显示全部楼层
elim 发表于 2022-2-8 12:22
任何编号的鱼在某个(有限)时刻必消失,所以无限时间后任何编号的鱼都消失。
但是永远只有有限长时间,所 ...

在我的印象中,e老师一直是坚定的实无穷论者,什么时候变成潜无穷论者了?
有不能消失的鱼吗?哪些鱼不能消失?
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发表于 2022-2-9 00:35 | 显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2022-2-8 11:10 编辑

假定第k秒有m_k条鱼被吃.于是经过n秒共有\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n m_k (有限)条鱼被吃.但初始条件鱼有无穷条(这是实无穷设定),所以任何时候所剩鱼仍有无穷多.

这账不难算对吧?
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