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解鲁氏不定方程

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发表于 2022-3-1 20:24 | 显示全部楼层 |阅读模式
解鲁氏不定方程(一)
A^(n+1)+B^n=C^n
A=m^(nk+1)
B=bm^[(n+1)k+1]
C=am^[(n+1)k+1]
其中,a、b为正整数,k为自然数,
m=a^n-b^n,且m>0

解鲁氏不定方程(二)
A^(n+1)-B^n=C^n
A=m^(nk+1)
B=bm^[(n+1)k+1]
C=am^[(n+1)k+1]
其中,a、b为正整数,k为自然数,
m=a^n+b^n,且m>0
解鲁氏不定方程(二)
A^(n+1)-B^n=C^n
A=2^(nk+1)
C=B=2^[(n+1)k+1]
其中,k为自然数,
 楼主| 发表于 2022-3-1 20:38 | 显示全部楼层
在这里,鲁氏不定方程属于函数不定方程。有一定难度。
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发表于 2022-3-2 05:33 | 显示全部楼层
应归纳为X*p+Y*q=Z*k,(pk,q)=1.类型的方程。
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发表于 2022-3-2 06:24 | 显示全部楼层
lusishun 发表于 2022-3-1 21:33
应归纳为X*p+Y*q=Z*k,(pk,q)=1.类型的方程。


另一类型:X*p+Y*q=Z*k,(pq,k)=1.
都有解。
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发表于 2022-3-3 20:58 | 显示全部楼层
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-3-3 21:00 编辑

解鲁氏不定方程
费尔马解鲁氏不定方程(一)
A^(n+1)+B^n=C^n
A=m^(nk+1)
B=bm^[(n+1)k+1]
C=am^[(n+1)k+1]
其中,a、b为正整数,k为自然数,
m=a^n-b^n,且m>0

检验:
A^(n+1)=[m^(nk+1)]^(n+1)=m^(n^2*k+n*k+n+1)
B^n=b^n*m^[(n+1)*k+1]^n=b^n*m^(n^2*k+n*k+n)
C^n=a^n*m^[(n+1)*k+1]^n=a^n*m^(n^2*k+n*k+n)

A^(n+1)+B^n=m^(n^2*k+n*k+n+1)+b^n*m^(n^2*k+n*k+n)=(m+b^n)*m^(n^2*k+n*k+n)
令A^(n+1)+B^n=C^n,则m+b^n=a^n,m=a^n-b^n。
故当a、b为正整数,k为自然数,m=a^n-b^n,且m>0时原方程成立;
随意给定一对正整数a和b,即得一个正整数m。


费尔马解鲁氏不定方程(二)
A^(n+1)-B^n=C^n
A=m^(nk+1)
B=bm^[(n+1)k+1]
C=am^[(n+1)k+1]
其中,a、b为正整数,k为自然数,
m=a^n+b^n,且m>0

检验:
A^(n+1)=[m^(nk+1)]^(n+1)=m^(n^2*k+n*k+n+1)
B^n=b^n*m^[(n+1)*k+1]^n=b^n*m^(n^2*k+n*k+n)
C^n=a^n*m^[(n+1)*k+1]^n=a^n*m^(n^2*k+n*k+n)

A^(n+1)-B^n=m^(n^2*k+n*k+n+1)-b^n*m^(n^2*k+n*k+n)=(m-b^n)*m^(n^2*k+n*k+n)
令A^(n+1)-B^n=C^n,则m-b^n=a^n,m=a^n+b^n。
故当a、b为正整数,k为自然数,m=a^n+b^n,且m>0时原方程成立;
随意给定一对正整数a和b,即得一个正整数m。
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发表于 2022-3-3 20:58 | 显示全部楼层
lusishun 发表于 2022-3-2 05:33
应归纳为X*p+Y*q=Z*k,(pk,q)=1.类型的方程。

解鲁氏不定方程(三)
X^p+Y^q=Z^k,(pk,q)=1.
例X^2+Y^3=Z^5
变形A^20+B^21=C^20
令A=B=a^20-1
则A^20+B^21=(a^20-1)^20+(a^20-1)^21=(a^20-1)^20*(1+a^20-1)=(a^20-1)^20*a^20=[(a^20-1)*a]^20=C^20
C=(a^20-1)*a

A^20=X^2, X=A^10=(a^20-1)^10;
B^21=Y^3, Y=B^7=(a^20-1)^7;
C^20=Z^5, Z=C^4=[(a^20-1)*a]^4

A、C的指数取p,k最小公倍数lcm(p,k)的某个倍数(例m倍——lcm(p,k)*m=p*m1=k*m2);
再取C的指数比A、C的指数大1,且是q的某倍数n,qn=lcm(p,k)*m+1;
解出ABC的表达式:A=B=a^[lcm(p,k)*m]-1; C={a^[lcm(p,k)*m]-1}*a
再转换成XYZ的表达式 X=A^m1, Y=B^n, Z=C^m2。

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好的  发表于 2022-3-4 06:35
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发表于 2022-3-3 20:59 | 显示全部楼层
lusishun 发表于 2022-3-2 06:24
另一类型:X*p+Y*q=Z*k,(pq,k)=1.
都有解。

解鲁氏不定方程(四)
X^p+Y^q=Z^k,(pq,k)=1.
变形Z^k-X^p=Y^q
例Z^7-X^2=Y^5
再变形A^21-B^20=C^20
令A=B=a^20+1
则A^21-B^20=(a^20+1)^21-(a^20+1)^20=(a^20+1)^20*(a^20+1-1)=(a^20+1)^20*a^20=[(a^20+1)*a]^20=C^20
C=(a^20+1)*a

A^21=Z^7, Z=A^3=(a^20+1)^3;
B^20=X^2, X=B^10=(a^20+1)^10;
C^20=Y^5, Y=C^4=[(a^20+1)*a]^4

B、C的指数取p,q最小公倍数lcm(p,q)的某个倍数(例m倍——lcm(p,q)*m=p*m1=q*m2);
再取A的指数比B、C的指数大1,且是k的某倍数n,kn=lcm(p,q)*m+1;
解出ABC的表达式:A=B=a^[lcm(p,k)*m]-1; C={a^[lcm(p,k)*m]-1}*a
再转换成XYZ的表达式 Z=A^n, X=B^m1, Y=C^m2。

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好的  发表于 2022-3-4 06:35
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\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
\because\therefore\angle\parallel\perp\top\nparallel\measuredangle\sphericalangle\diamond\diamondsuit\doteq\propto\infty\bowtie\square\smile\frown\bigtriangledown\triangle\triangleleft\triangleright\bigcirc \wr\amalg\models\preceq\mid\nmid\vdash\dashv\nless\ngtr\ldots\cdots\vdots\ddots\surd\ell\flat\sharp\natural\wp\clubsuit\heartsuit\spadesuit\oint\lfloor\rfloor\lceil\rceil\lbrace\rbrace\lbrack\rbrack\vert\hbar\aleph\dagger\ddagger

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