E—族构形与终极图的关系解析

雷明85639720

E—族构形与终极图的关系解析
张彧典（执笔）  雷明（修改）
（二○二二年三月十日）

敢峰先生在他最新出版的《四色定理登顶证明》【1】中再三强调：敢峰图就是终极证明的构形图，与E—图无关，且无任何渊源和参照关系。特此声明，立此存照（见【1】中40页）。并且在书中说，如果不用他的“直立型”画图的方法，是不可能不可避免的得到终极图的。
我们多次指出，终极图就是E—族构形，只不过是画法不同，其实都是柘朴同构的。为了消除我们之间的认识误差，现在依据敢峰先生运用演绎推论20步或者15步得到终极图的方法，把这些图逐一变成张彧典先生习惯用的、待着色顶点是隐形的画法的形式，表明E—族构形的生成也是可以通过20步或者15步的转形演绎得到的。如图1、2所示：                                          
敢峰先生演绎构建的终极图是待染色顶点V在四色五边形内的构形，我们演绎构建的终极图是待染色顶点V在四色五边形外的构形。
我们给出的20（15）个连续转化图，与敢峰先生 “用对角转型（邻角转型）”构建的 20（15）个图呈现出一一对应的关系。
下面图 1是雷明先生依据敢峰先生用对角转形演绎法20步演绎生成待着色顶点V在五边形内部的20个连续转化最终生成终极图的过程，给出的与敢峰先生一一对应的生成待着色顶点V在五边形外部的E1—图构形的20个转化图。每一步转化各有两个图，各图下的两个数字，前一个数字是转化的步数，后一个数字是各步的第1图（是有双环交叉链的构形）和第2图（是从第1图中移去了一个同色的构形）。第1图的双环交叉链有的是前一步第2图移去了一个同色后新生成的（表现在第1 图与前一步第2图的边数是相同的），有的是前一步第2 图移去了一个同色后，人为构造的（表现在第1图的边数比前一步第2图的边数要多）。





















                                                              图1

图2是张彧典先生依据敢峰先生用邻角转形演绎法15步演绎生成待着色顶点V在五边形内部的15个连续转化最终生成终极图的过程，给出与敢峰先生一一对应的生成待着色顶点V在五边形外部的15个（因图（16）图只相当于图1中的15步的第2图，所以是15个）转化图（E4—图构形）。
  
  
                                                               图2
                          
现在，我们分析图1与图2的同异。
1、两组图的相同之处是：
（1）我们画的图与敢峰先生在他的专著中用两种方法演绎生成的终极图呈现一一对应关系，只是画法不同：待染色顶点V敢峰先生是在五边形内部（【1】），我们所画的待着色顶点V是在五边形的外部（图1、图2）。由此可知，终极图与E1—图是一样的。
（2）都是通过施行不同的颠倒染色程序，也都是在第15步使得构形的几何结构从非十折对称转化为十折对称，即在第15步都转化成了极大图，也即敢峰先生所说的“封网”；
2、两组图的不同之处是：
（1）五边形顶点染色的变化周期不同，图1运用的对角变换法是沿着BAB—DCD—ABA—CDC—BAB四种染色模型周期转化的，图2运用的邻角变换法是沿着BAB—BDB—BCB—BAB三种染色模型周期转化的。
（2）几何结构与色图的全部复原周期不同，图1的E1—图为20步；图2的E4—图为60步。为什么不同呢？这是因为，对角变换法是四步转型染色为一个周期，即五边形顶点转化4次是一个周期，5个顶点各做一次BAB型的峰点后就是4×5=20次转型；而邻角变换法是三步转型染色为一个周期，即五边形顶点转化3次是一个周期，5个顶点各做一次BAB型、BCB型、BDB型的峰点，就是3×5=15次转型。但这时图中各顶点并没有复原到E1—图的原位，需要15×4＝60次转型，才能复原。这就决定了它们几何结构与色图的全部复原周期不同。
（3）图2在第十五步虽然也封成为了极大图，但其他顶点还没有复原到与E1—图相同的位置。所以第（16）图（实际上只是相当于图1中第15步转型的第2图）只是E—族构形四姐妹中的一个E4。邻角转型只有转化次数达到60次时，各顶点才能复原到与E1—图相同的位置。转化30次，45次时的图则分别是E2和E3。
（4）两种方法比较表明，施行对角链变换法20步实现E1—图或终极图的“几何结构与色图的全部复原”是最简单的方法。
（5）初始图与“终极图”中的A—C、A—D两条链的相交不同，即色图不同。两图的初始图均为一次相交。图1的终极图仍是一次相交的E1；但图2却变成两次相交的E4（这主要是因为图2的其他顶点还没有彻底复原到E1—图的位置的原因。E3还是相交三次的）。

     张彧典     雷  明
二○二二年三月十日于长安