I. M. Gelfand 自述

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I. M. Gelfand 自述

作者 | V. S. Retakh ， A. B. Sosinsky

翻译 | 李锟

编者按：原文标题“A talk with I. M. Gelfand: A student and teacher followed his own interests and instincts”， 发表于 Quantum，(Jan-Feb 1989)。中译文原载于《数学译林》 1990 年第 4 期，李锟译， pp. 340--347 。重新录入时林开亮老师作了简单的文字整理。

Gelfand (见维基百科词条https://en.wikipedia.org/wiki/Israel_Gelfand 1913-2006)，20 世纪最伟大的数学家之一。据说，在 20 世纪的俄国，最杰出的数学家有 3 位，分别是 Kolmogorov ，Gelfand 和 Shafarevich（前不久去世）。Kolmogorov 的工作广，Shafarevich 的工作深，而唯有 Gelfand ，工作既深且广。


Gelfand（盖尔范德）照片取自《当代大数学家画传》，由 Mariana Cook 提供

《败者为王》(The Loser Takes All)是英国作家格雷厄姆·格林(GrahamGreene)的一本小说。我的数学生涯是如此的幸运，以至于我多年来的生平可以视为这部小说的一个现实版本。那么，我的好运是什么呢？简单地说就是：第一，我没有上过大学；第二，由于我的家庭生活困难，以至于当我 16 岁半到达莫斯科时，既无双亲陪伴，也无工作。

我想借助另一个英国作家威廉·萨默塞特·毛姆(William Somerset Maugham)的短篇小说（注：这里指的是《教堂堂守》或《教堂司事》（The Verger），见《毛姆短篇小说集》pp. 311-320 中叶念先的译文，北京，外国文学出版社，1983 年。）来解释败者为王的含义。小说的主角是某个教堂的仆役，在鉴定教堂神职人员时发现他是文盲，所以他被解雇了。他开始成为卖烟的小贩，后来买下了烟铺，再后来又买下了另一些铺子……商业上飞黄腾达，他成为全城最富有的人和该城的市长。记者采访了他——正如你们今天采访我一样——他解释说，他是文盲，记者不禁惊呼：“您要是会识字的话，那该取得多大的成就啊！”市长的回答非常干脆：“那样的话，我可能还是教堂的仆役。”

1930 年 2 月，当我 16 岁半时，来到莫斯科投靠远亲，经常失业，任何临时性工作都干，而大部分时间我呆在列宁图书馆，“恶补”那些在中学和未结业的职业技术学校里没有学到的知识。在图书馆，我结识了一些大学生，并开始去大学听课。18 岁时我已经开始教课，19 岁考上研究生，此后的数学经历则平常而正规，进入了数学家通常的轨道。

我并不打算把生活中的这一段经历告诉《量子》的读者，我想谈的是更早期的经历，即 13 岁至 16 岁时我是怎样学习数学的。我想介绍这方面的内容有两个原因。第一，我坚信，对大多数未来的职业数学家来说，数学的天才正好出现在 13 岁至 16 岁这一时期（当然在最强的数学家中也有例外，从 20 岁至 30 岁甚至 40 岁不等）。第二，我在这一时期形成了研究数学的风格。不言而喻，研究的对象是经常变化着的，但是在这个时期形成的数学的艺术形象却是我选择研究题目的品味的基础，对这些题目我至今仍感兴趣。我觉得，不了解这个动机，就不可能弄清楚我的研究风格和选择数学研究作为职业的理由。

我记得的第一件事发生在 12 岁左右，那时我已明白，有些几何题目是不能用代数方法求解的。每隔 5 度我求出弦长与弧长之比，制成了表格。很久以后我才明白存在着三角（非代数的）函数，实际上我是制作了三角函数表。

大约在那时，我做完了一本初等代数的习题集。我既没有相匹配的代数课本，也不知道相应的理论，有时只能用我当时还叫不出名字的公式去求解相当复杂的问题。如果我不会解某一个题，我会先看一下答案，尽量按照问题的提法和答案反推它们的解法。特别的，那时我已明白，并且一生都牢牢记住，通过解题可以掌握新的领域，实际上光看答案并不可耻，因为我们在解题时总是假设可能的答案。一般说来，研究数学问题与解题有类似之处，解题时我们总是知道答案的某些方面。这也是数学研究工作与大学入学考试的数学训练（这当然有必要）的差别所在。

在 12 到 13 岁时，我注意到某些几何问题。例如，有一些直角三角形，其边长是 3，4，5 ，甚至是 5，12，13 。我想求出边长为整数的全部直角三角形，结果得到了这类三角形的边长的一般公式，也就是说我求得了勾股组（当然，那时我并不知道这一术语）。遗憾的是，现在我已记不清当时是怎样得出这个公式的了。

在生病和假期时，我常学习数学。我注意到，有些能力强的学生生病在家时能完成很多事。因此，我常常让我的儿子病愈后在家多住几天。

我们所用的几何课本中，有些定理是以习题的形式给出的。我得到了练习本（这在那个年代也是难得的），在每一页都写上了定理的陈述。一个假期过去，笔记本上几乎写满了这些定理的证明。这就是我怎样学会写数学著作的。

这里我将跳过一段。那时候我只注意到了 Dovydov 的代数书，书中非常聪明地用初等方法（即不用微积分）求解最大值和最小值问题。例如，已知正数 a 与 b 的和为定值，求其乘积 ab 的最大值；给定矩形的周长，求其面积的最大值；给定一个正方形，若从正方形的四个角切除四个小正方形，并将其余部分做成盒子，问应该切除多大尺寸的小正方形，才能使得盒子的体积为最大？

牛顿二项式定理和组合分析公式给我很深的印象，我曾长时间思考这些问题。

我曾经在小城市生活，那里只有一所中学。数学老师 Titarenko 长有哥萨克式的胡子，很善良，但表面上看起来较严厉。虽然我比他知道得更多——这点他也清楚，但是我还未遇到比他更好的老师。他很喜欢我，并且经常鼓励我。对于教师来说，最主要的一点就是要善于鼓励学生，不是吗？

数学书匮乏是很一个严重的问题。我经常看见高等数学书的广告，猜测高等数学大概是非常有趣的。可惜，我的父母穷，不大可能给我买这些书。我很幸运，在 15 岁那年，我得了阑尾炎，需要去敖德萨做手术。我跟父母说，要是不给我买高等数学书，我就不去医院。父母终于同意了，给我买了乌克兰文的 Belyayev 的《高等数学教程》，但他们的钱只够买第一卷，其内容包括微分学和平面解析几何。

我没有从一本成熟的大学教程开始学习高等数学，这是很幸运的。这是一本比较基本的书。从 Belyayev 教程的引言，即可判断此书的水平。在引言中，作者提到，函数一共有三种形式：用公式表示的解析函数、用表格表示的经验函数、以及相关函数。什么是相关函数，我当时并不明白，只是在许多年以后，我才从学概率论的大学生那里知道它的含义。

手术后第 3 天我就开始看这本书，穿插着还读了埃米尔·左拉（Emile Zola）的小说，一共看了 9 天（那时，在这种手术后，需要住院 12 天）。在此期间，我看完了这本书。

从这本书我领会到两个非同寻常的思想。

第一，平面与空间的任何几何问题都可以用代数公式表示（我以前就猜到了这一点），我也认识到存在着某些相当漂亮的图形，如椭圆。

第二，存在着计算正弦的公式：

这使我的观念发生了转折。以前我认为，存在两种不同风格的数学——代数与几何。与代数相比，我觉得几何在原则上是“超越的”。例如，圆的周长公式中含有“几何”数 π（圆周率），或者说，正弦是完全用几何方法确定的。

当我发现正弦可以用代数的级数形式表示时，头脑中的代数与几何之间的鸿沟消失了，数学成为统一的数学。时至今日，我已认同这样的观点，数学的各个部分与数学物理是统一的整体。

当然，我从这本书也确信了，极值问题可以自动解答，虽然它们正在失去本身的魅力，但在你们手中却有解决此类问题的得力工具（微积分）。

学微分学时，我已知道还有积分学，它与面积和体积有关。但我无法知道它的具体内容，因为我还未得到 Belyayev 教程的第二卷！



这时的旋转体体积将与一个棱柱的体积相等，该棱柱的底为所给的三角形，高为三角形三条中线的交点的轨迹的长度。由物理学可以知道，此点就是三角形的重心。若再回看圆周旋转时的情况，即可明白，圆心就是圆的重心。（注：这些结果蕴含在一个称为帕普斯定理（或古尔丁定理）的一般结果中，见维基百科：https://en.wikipedia.org/wiki/Pappus%27s_centroid_theorem。）

在由不知从哪里得到的材料力学教科书中，我找到了重心的一般定义。书中不仅旋转了各种图形，还将图形沿各种曲线移动，并计算出所得几何体的体积和面积。这时讨论的严格性是非常重要的，我非常引以为骄傲的是，我能求得半球和半圆的重心。

幸运再次光顾了我。我们城里来了一位学识渊博的人（按照我当时的观点），他毕业于敖德萨师范学院数学物理系。他带来的书中有 Kagan 的《行列式理论》和 Hvolson 的《物理学教程》，前一本书富有教益，内容详尽，甚至有关于无穷行列式的章节。

我应指出，Filippenko ——他是著名的 N. K. Koltslov 学派的生物学家——的生物课本，是一本极好的课本，它甚至使我在 15—20 年之后有兴趣研究生物学。



为了证明这一定理，必须搞清楚，什么是“函数”。我思索着函数的含义，并且给出了如下定义：函数是收敛的无穷幕级数的和。这样，很容易就证明了上述定理。

在我来到莫斯科以前，这大概就是我所思考的最后一个问题了。1929 年夏天我解答了这一问题，之后的半年对我和我的家庭都是艰苦的，我未从事数学研究。

我在莫斯科学习数学的第二阶段不再是这种“瞎摸瞎碰”了。在莫斯科，我受到许多完全不同风格的影响，我的发展也不再任自漂流了。正如我之前提到的，这时我开始在列宁图书馆自学，靠打零工维持生计。有一阵我就在图书馆的服务台坐班。我结识了大学里的数学系学生。有人告诉我，我很感兴趣的表达式  f(n+1)-f(n) 是一个称为有限差分的系统理论的一部分。他告诉我应该阅读 Norlund 的《差分演算》。这是一本德文书，不过我在字典的帮助下掌握了它。

我开始参加大学的研讨班，在那里我发现自己压力很大。我做数学的方式不合适宜。当时，数学界掀起了一股风气：对严谨的证明的要求、对实变函数论的浓厚兴趣。（今天看来，这种严格性和这个特殊理论已陈腐过时，但在那时……）

直到那时，我才认识到，很重要的是：函数未必是连续的，连续的函数未必是可微分的，一阶可微分的函数未必是二阶可微分的，如此等等；甚至一个无穷次可微分的函数，其 Taylor 级数也未必是收敛的；即便收敛，也未必收敛到函数本身。如果函数的 Taylor 级数刚巧收敛到它本身，这个函数就称为解析的。（实变函数论爱好者认为）这类函数是如此狭窄，以至于它被排除在主流数学之外。而在此之前，我就只见过这类函数。

在这种观点的影响下，我读了 Vallee Poussin 的“现代化的、严格化的”分析教材。它类似于目前莫斯科大学数学力学系用的教材，但更好一些。因此我很同情那些大一学生，他们只有在历经长达一年的强调“严格基础”的痛苦考验之后，才能体会到数学分析的美妙。



我很快读完了 Hurwitz 和 Courant 关于复变函数论的书。我印象最深的是关于椭圆函数的那些章节。然而时尚再一次捉弄了我——即便在那时，这个数学分支也被认为是老古董。椭圆函数论被贬低为“不过是三角函数的推广”。多年以后，这个领域才再次成为数学家关注的焦点。

我从大学的研讨班获益很多。我遇到各式各样的数学家，我可以拿我的浪漫、过时的观点，与时下流行的观点作比较。我跟着许多杰出的数学家学习，并且以这种方式持续学习至今。

后来我读了——其实是深入研究——Courant 和 Hilbert 合著的《数学物理方法》。那时我认识到，阅读基本工作非常必要。重要的是，要舍得花时间思考一个理论的真正基础。Hermann Weyl 1925 年关于典型群表示的工作，就属于这一范畴。但很可惜，我们无法接触到 Cayley，Schur 和“Hilbert 时期”之前的其他作者的更经典的基础性工作。

我从 Schnirelman，Lavrentiev，Lusternik，Plesner，Petrovsky 那里学到很多，从 Andrey Nikolaevich Kolmogorov 学到的就更多了。特别地，我从 Kolmogorov 那里学到，一个真正的数学家必须是一个物理学家。

此后，我的故事就切换成标准的学术传记。然而，这种东西通常是非常容易令人引起误解的。一部真正的学术传记，只是科学家工作的汇集。一个人对自己的工作的印象，并不比其他任何读者对它的印象重要。因此，我就此结束我的故事。

注释：