已知函数 f(x)=x/e^x ，f(a)=f(b) ，a＜1＜b 。求证 a^2／(a-1)+b^2／(b-1)＞10／3

彩色的豆高

高中数学老师求助，高考导数压轴题，整整两天做不出来，难倒我所有同学，现在怀疑人生

已知：函数f（x）=x/e^x，若f（a）=f（b），a＜1＜b
求证：a^2/（a-1）+b^2/(b-1）＞10/3

备注：不知道是何方神圣出的题目，我做了两天也没头绪，高中同学和大学同学也没有人会做，又问了两个研究生群的群友，也没得到答案，相信只有万能的数学中国论坛可以拯救我了。感谢各位老师的指导！

彩色的豆高

每日一顶，救救孩子吧

波斯猫猫

已知函数 f(x)=x/e^x ，f(a)=f(b) ，a＜1＜b 。求证 a^2／(a-1)+b^2／(b-1)＞10／3

思路：1，由f(x)=x/e^x易知 ，其图像在一三象限且过原点，当x=1时取得最大值。

2，由f(a)=f(b) ，a＜1＜b易知 ，a＞0。

3，令b=ta（t＞1），由f(a)=f(b)易得，a=lnt/(t-1)，b=tlnt/(t-1)。

4，从而a^2／(a-1)+b^2／(b-1)可表为t的函数。

彩色的豆高

令b=ta这里太妙啦，感谢

彩色的豆高

尝试了一下，还是没有证出来，不过我用geogebra画出了函数的图像，图像显示极小值确实在t=1处取到，放弃了，这不会考吧

cgl_74

这道题好像不能用初等方法解出来的吧。
我可以证明，当a--〉1-；b--〉1+时，极限a^2/（a-1）+b^2/(b-1）= 10/3；并且在1的临域，值是>10/3的。
但是拓展到全域，用导数等方法计算很复杂，没有发现明显的增减性，很难证明。

另外，我用计算机辅助验证，发现有不少例外值，如果不是计算机的精度问题的话，说明该结论是不成立的。
t        a        b        f=a^2/（a-1）+b^2/(b-1）
0.0011        0.999450403        1.000549798        3.333332919
0.0012        0.99940048        1.00059976        3.333333145
0.0013        0.999350563        1.000649719        3.333333314

cgl_74

另外，你说这是高考压轴题，是哪一年的高考题啊？现在高考都这么难了吗？这种题用高中或大学知识，结合基本思想方法，估计是考场上做不出来的。如果作为课题研究，倒是可以，无论证实还是证伪。

彩色的豆高

cgl_74 发表于 2022-3-20 16:13
这道题好像不能用初等方法解出来的吧。
我可以证明，当a--〉1-；b--〉1+时，极限a^2/（a-1）+b^2/(b-1）=  ...

我用GeoGebra作图验证过了，t=1确实对应极小值10/3，只是无从证明，另外这道题目并不是高考真题，而是一道模拟题

彩色的豆高

cgl_74 发表于 2022-3-20 16:13
这道题好像不能用初等方法解出来的吧。
我可以证明，当a--〉1-；b--〉1+时，极限a^2/（a-1）+b^2/(b-1）=  ...

没有例外值，请仔细检查

cgl_74

彩色的豆高 发表于 2022-3-22 17:22
没有例外值，请仔细检查

1、我用的是苹果M1芯片+macOS+python进行计算验证。发现在b趋近于1的函数的一段递减区间，计算值出现跳变，说明计算精度出现问题，结果不可靠。也就是说对那段区间的值既证明不了正确也证明不了错误。
2、你说没有例外值，那就是在吹牛。那岂不是就可以证明结论成立了！任何计算机计算都存在误差，一般是利用函数严格增减的性质去逼近真实值。至少在b趋于极限1+时的值无法用计算机证明。除开精度问题，也无法证明无限。