实数 x,y 满足 [2x+√(4x^2+1)][y+√(y^2+1)]=λ ，求 x+y 的最小值

中国上海市

[2x+(4x^2+1)^0.5][y+(y^2+1)^0.5]=λ，求(x+y)min

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可以用换元法试试，设x=0.5tanα，设y=tanβ

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思路：令2x+√(4x^2+1)=a，y+√(y^2+1)=b，则原题变为：

已知实数 a,b满足 ab=λ ，求 (a^2-1)/(4a)+(b^2-1)/(2b)的最小值。

令y=(a^2-1)/(4a)+(b^2-1)/(2b)，由 ab=λ 消去b，得到一个关于a的一元二次方程，然后用判别式解决。

luyuanhong

Future_maths

陆教授解答有一个错误，应用平均不等式时，\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) a与b应该是正数。

Future_maths

事实上，当\(\lambda=1\)时，x+y=-x，这时x+y没有最小值。

luyuanhong

谢谢楼上 Future_maths 指出！我已在楼上帖子中作了修改和补充。

其实，当 0＜λ≤２ 时，x+y 的最小值都是不存在的，估计原题也不希望出现这样的情况。

所以我猜想，原题中漏了一个条件“λ＞2”。当 λ＞2 时，使用算术-几何平均值不等式就没有问题了。