求证勾股数必有一边含5因子

费尔马1

在yangchuanju老师的帖子《完美立方体问题》中，发现，关于勾股数必有一边含 5 因子的这一性质也被洛书定理所证明。
这个结论，学生我读了杨老师的文章后才刚刚知道的，这个性质很好！让我们一起来证明吧！
命题:求证勾股数必有一边含5因子？

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求证:勾股数必有一边含5因子？
证明:
本原勾股数公式:
勾股数的三个边为a、b、c，三个边皆为正整数，且两两互质。
a=（u^2－v^2）/2
b=uv
c=（u^2+v^2）/2
其中，u、v为互质的奇数，u>v。
奇数的个位数是，1 3 5 7 9
①当u、v中只要有一个数的个位数是5时，b=uv，b是5的倍数；
②当u、v的个位数是1 3 7 9时，u^2、v^2的个位数有1、9两种情况，u^2、v^2的组合有三种情况:1与1；9与9；1与9。
⑴当1与1时，1+1=2舍去，1－1=0说明（u^2－v^2）是10的倍数，故a是5的倍数；
⑵当9与9时，9+9=18舍去，9－9=0说明（u^2－v^2）是10的倍数，故a是5的倍数；
⑶当1与9时，1+9=10说明（u^2+v^2）是10的倍数，故c是5的倍数。
                                 证毕

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