证明：任意整数必能写成 5 个整数的立方之和

Bathan_Tam

请教方法

Nicolas2050

证明:
（1）。问题的转化： 0一定能表示成5个整数的立方和,
0=(-1)^3+(1)^3+(2)^2+(-2)^3+(0)^0 等等
而如果一个正整数 x=a^3+b^3+c^3+d^3+e^3，那么它的相反数
-x=(-a)^3+(-b)^3+(-c)^3+(-d)^3+(-e)^3
也即，如果我们证明了任意一个正整数能表示成5个整数的立方和，就证明原命题
（2）。现在我们来证明任意一个正整数能表示成5个整数的立方和。
如果有①-n,n+1,m,-m-1,p，②-n,n+2,m,-m-2,p两组数，能否通过m,n,p的变化来表示所有的正整数呢？
(n+1)^3-n^3-[(m+1)^3-m^3]=3n^2+3n-3m^2-3m=3(n-m)(n+m)+3(n-m)=3(n-m)(n+m+1)
(n+2)^3-n^3-[(m+2)^3-m^3]=6(n-m)(n+m+2)

先证明①②能表示3的倍数
1。6(2k+1）型能用①表示：①当中n-m和n+m的奇偶性相同，n+m+1和n-m的奇偶性相反，那么(n+m+1)与(n-m)中必有一个是偶数，令6(2k+1)=3(n-m)(n+m+1)，则2(2k+1)=(n-m)(n+m+1) 令n-m=2 m+n+1=2k+1,一定能找到，用整数m=k-1,n=k+1且p=0,来表示这个数
2。12k型能用②表示，②当中n-m和n+m+2的奇偶性相同，如果一个数是12k，令12k=3(n-m)(n+m+2)，则4k=(n-m)(n+m+2) 令n-m=2 m+n+2=2k,m,n就有整数解了，用整数m=k-2,n=k,p=0,来表示这个数
[以上两点证明了3的偶数倍能用①②表示]
3。3(2k+1)型不能用①表示，但我们可以把它变成可以表示，令3(2k+1)+27=3(n-m)(n+m+1)，则2k+10=(n-m)(n+m+1) 令n-m=1 m+n+1=2k+10, 用n=k+5,m=k+4,p=-3 来表示这个数

如果这个数不是3的倍数怎么办呢？通过p把它调节为3的倍数。
1.若这个数是12k±1型的，取②，m=k-1,n=k+1且q=±1
2.若这个数是6(2k+1)±1型的,取①,m=k-2,n=k,且q=±1
3.若这个数是3(2k+1)+1型的,取①做如上面3的变形，3(2k+1)+1+512=3(n-m)(n+m+1)，则2k+172=(n-m)(n+m+1) 令n-m=1 m+n+1=2k+172, 用n=k+86,m=k+85,p=-8
4.若这个数是3(2k+1)-1型的,同理，取①3(2k+1)-1+64=3(n-m)(n+m+1)，则2k+8=(n-m)(n+m+1) 令n-m=1 m+n+1=2k+8, 用n=k+4,m=k+3,p=-4
总上所述，任何正整数都可以表示为5个整数的立方和，再根据1,任何整数都可以表示为5个整数的立方和。
证毕

Future_maths

楼上的解答是从网上copy下来的，恐怕自己都没有看懂吧。

lihp2020

以前听说 任意整数(除了9n +/- 4)必能写成 3 个整数的立方之和  有些数字 我们虽然没有找到 不代表没有
如 42=(-80538738812075974)^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3
好像已知 （1~99） 除了(9n +/- 4) 都能写成3 个整数的立方之和