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一些极限悖论(2)

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发表于 2022-3-27 17:36 | 显示全部楼层 |阅读模式
上个帖子说明了1-1的值是无穷小,即证明了1>1,那么反过来,1-1的值还可能是这个无穷小的数的相反数,就是说,证明了1-1的值既>0又<0,即1-1的值不存在.
如果1-1的值存在且是0,那么无穷小的值就=0,这是违背了极限定义的,所以1-1的值不是0,但这违背了数的运算.
在极限思想中,出现了这样的悖论.这说明那一次数学危机波及的范围远不止无穷小.
发表于 2022-3-29 11:10 | 显示全部楼层
本帖最后由 春风晚霞 于 2022-3-30 08:17 编辑

       路过。读了楼主对0.999…是否等于1的思考。在回答之前我想问问楼主关注这个问题的目的是什么?如果是自娱(俗称搞来耍),那么在众网友的回复中你釆纳谁的意见均无大碍。
       一、如果是为了教学或辅导自已家的学生,那么楼主就应该釆纳elim先生的建议。因为jzkyllcjl先生的见解,尚未得到教育主管部门的认可,冒然釆用,多为你培养几个本科小学生、本科初中生那是无疑的。证明无限循环小数0.999…=1的方法较多,下面给出两种常用的证明方法::
       1、反证法
       证明:假设无限循环小数0.999……<1,则存在纯小数c使不等式0.999……<c<1成立,由c>0.999……,于是根据逐位比较法:纯小数c在小数点的后边至少存在某一数位上的数字大于9,这与9是0到9这10个数字中的最大数矛盾。所以c不存在,故假设不成立。所以无限循环小数0.999……=1。
       2、解方程法
       证明:   设t= 0.9999…,则10t=9+0.999…即10t=9+t;解方程得:t=1    即是:0.999…=1。
       二、如果楼主关注这个问题是为了进一步学习现行实数理论,建议你考虑如下命题:
       命题:若lim=A,则当x\to∞时,f(x)=A.
       证明:假设x\to∞时,f(x)≠A,则必有|f(x)-A|=α>0,令ε=α\over 2,存在N,当x>N时有|f(x)-A|=α>ε.∴\displaystyle\lim_{x\to \infty}f(x)≠A,这与已知\displaystyle\lim_{x \to \infty}f(x)=A矛盾。所以假设x\to∞时,f(x)≠A不成立。所以\displaystyle\lim_{x \to \infty}f(x)=A,则当x\to∞时,f(x)=A(即极限可达)。
       至于楼主提出的悖论,可结合极限可达性自行考虑。
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发表于 2022-3-31 17:40 | 显示全部楼层
对于无穷小,菲赫金哥尔茨《微积分教程》一卷一分册,38-39页已经指出: “由于历史性形成的术语《无穷小》不是十分恰当的,希望不要引起读者的误解,……”事实上,无穷小是这样的一个变量,它仅在自己变化过程中,可以变为小于任意选取的数ε”。关于极限意义下的无穷小量的这个定义说明:1./n 或1/10^n 都是变量,而不是定数;虽然它们的极限值是0,但极限值具有变量性数列不可达到的性质,的事实需要被尊重。此外, 对于华东师大《数学分析》上册,34页数列极限的ε-N定义中的ε之前的定语“任给的正数”,wlim把它改用全称量词的做法也是概念混淆的做法,因此,小学、中学中的等式1/3=0.333……,π=3.1415926……,√2=1.41421356……都是概念错误的等式,这些等式右端的无尽小数都是以有尽小数为项的无穷数列的简写,它们 都是变数,而不是定数, 它们的趋向性极限值才等于左端的定数。
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发表于 2022-3-31 19:14 | 显示全部楼层
jzkyllcjl 经常忘记告诉大家他是具有不住吃狗屎啼猿声性质的学渣.
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