联系实践事实的实数的定义与公理

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现行的《初等代数研究》教科书上册 87页提出了“称十进小数 为实数[10]”的定义。这个定义使用了“无限是完城了的整体”的违背事实的实无穷观点，所以这个定义是错误的。应当根据“理想与现实、无限与有限的对立统一法则”提出如下的实数定义与公理。
定义6（理想实数的非形式化定义）： 现实数量的大小（包括现实线段、时段长度、角度大小）具有可变性、测不准性；但在相对性与暂时性的忽略微小误差的抽象方法下，可以认为：每一个现实数量都有确定的大小。因此，可以提出：现实数量大小（例如线段、时段长度、角度大小）的没有误差的绝对准表达符号叫做理想实数（简称为实数）。其中不能用有理数绝对准表达的理想实数都叫无理数（例如：π与 根号2）。
公理1（实数公理）：每一个理想实数α，都存在着以它为趋向性极限值的康托尔的以有理数（包括十进小数）为项的基本数列，除0以外的每一个理想正实数 都存在唯一的满足条件 的，以n位十进小数 为通项的、理想实数 的全能不足近似值的康托儿基本数列，这个基本数列可以简写为无尽小数。但与文献[10]87页的：“称无尽小数为实数”的定义不同，根据通项满足的条件1/10^n，就可以知道：无尽小数的趋向性极限才真正是理想实数。所有无尽小数都具有“①无尽是按照一定法则无限延续下去的意义；②无限延续是永远延续不到底的操作”的对立统一的两个性质。这种基本数列收敛于这个理想实数 。反之，每一个康托尔实数理论中基本数列（或称以有理数为项的柯西基本数列），都有无限延续下去的通项表达式，都存在一个唯一的理想实数 （简称为实数）为其极限，等价(也称全能近似相等)的康托儿基本数列的极限相同；而且全能近似数列具有永远算不到底的性质，只要算到满足具体问题的确定的具体误差界的足够准近似值就行了。
有了上述定义与公理就可以更好的阐述实数理论的有关问题，例如，根据上述定义，就应当提出圆周率的定义是：圆周长L与直径长D的比值，圆周率 等于直径为1的圆周长；根据上述公理，就可以提出π 的针对误差界序列 1/10^n的全能不足近似值无穷数列3.1,3.14,3.141,……，这个数列可以简写为3.141……，并称他为无尽不循环小数，但无尽小数都是无穷数列性质的变数，而不是定数。

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恩格斯的“数学家的方法常常奇怪的得到正确的结果，但他们……。他们忘掉了：全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了[5]”的论述应当被尊重。

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研究数学需要从事实出发，需要使用毛泽东《矛盾论》中的“一切事物中包含的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾就没有世界”。对已有的形式逻辑下的有不可解问题的数学理论，需要使用理论联系实践的对立统一法则进行叙述；不仅错误的逻辑推导，违反事实的数学概念需要删除或改革，而且对正确的逻辑推导需要说明它依据的公理、定义是如何从实践中抽象出来的，需要说明它的应用方法。
具体说来，现行的《初等代数研究》教科书上册 87页提出了“称十进小数α=a0.a1a2……an…… 为实数[10]”的定义是概念混淆的定义。 事实上，这个定义中说的十进小数是以有尽位十进小数为项的无穷数列的简写，这个无穷数列是以自然数n为变数的无穷数列性质的变数而不是定数。
具体讲来，无尽小数有无尽循环与无尽不循环小数两种， 前者是从除不尽的分数得到的针对误差界数列{1/10^n}不足近似值的无穷数列，例如对除不尽的分数1/3,  由于1被3除永远除不尽，只能逐步得到针对误差界数列{1/10^n}不足近似值的无穷数列 0.3，0.33，0.333，……这个数列可以简写为0.333……，并称它为无尽循环小数，它的趋向性极限值才是分数1/3,但它本身永远小于1/3,不等于1/3，现行教科书的等式 0.333……=1/3 是把“趋向看做到达”的概念混淆性的错误等式。 对于无尽不混还小数存在与此类似的概念混淆，例如无理数√2 表示的对2的平方根，具有永远算不到底的性质，这个开方运算只能逐步得到：针对误差界数列{1/10^n}不足近似值的无穷数列1.4，1.41，1.414，……，这个数列可以简写为1.41421356……，这个数列的趋向性极限才是√2，但这个无尽不循环小数永远不等于√2。同理√3的无尽小数表达式1.732……永远不等于√3 ，它只是√3 的不足近似值无穷数列1.7，1.73，1.732，……的简写。总合起来，笔者称有理数与无理数都是理想实数，无尽小数为对应理想实数的针对误差界数列{1/10^n}全能不足近似值的无穷数列的简写；再根据“无穷无有穷尽、无有终了的事实”、无尽小数都具有永远算不到底、写不到底的性质，所以，对除不尽的分数与无理数都需要提出十进小数近似表达式。
对于圆周率π，它也是一个理想实数，它表示直径为1的圆周长。根据“直与曲的对立统一法则”可以将 将圆周等分为为6×2^m 等分之后，使用三角函数公式与半角公式算出的内接、外切多边形周长的数列，首先当m=0时，将圆周等分六等分，每一等分对应圆心角为60度 ，使用半角正弦、正切数值，得到圆内接、外切正六边形周长的准确到 的数字都是3。当m增大时，就会得到圆周率的准确到位数增多的十进小数近似值，例如，取m=18,,即将圆周分为1572864等分，计算出半圆心角正弦、正切后，得到圆内接、外切正六边形周长的准确到1/10^10 的数字都是3.1415926535 ；电子计算机问世以后，法国人计算到50万位数字，茅以升在《十万个为什么》中指出“50万位小数完了吗？没完。永远算不完的，这是个‘无尽’”的数啊！”，这说明：这个全能不足近似值的无穷数列具有永远算不到底的性质，但这个数列可以可以写作：3.1，3.14，3.141，……的以十进小数为项的康托尔实数定义中的基本数列；虽然这个数列可以叫做无尽不循环小数，但它是数列性质的变数，它不能等于 π，它的趋向性极限才是圆周率π 。这种叙述就消除了布劳威尔反例，改善了实数理论。