自然数的现实意义

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根据恩格斯的“只能从现实来说明[5]”的意见，首先需要知道如下的自然数及其集合的如下的从实践出发的定义。
定义2，空集这个术语，表示没有元素的想象性集合；由确定个数的确定事物为元素组成的整体，而且整体不能作为集合元素的集合，叫做现实的正常集合。其中的术语“元素个数”具有忽略现实集合各个元素性质与大小差别的意义，元素个数多少的表达符号叫做理想自然数（在暂时不联系现实数量的纯粹数学研究中可以简称为自然数）。
这个定义下的现实正常集合需要用一篮子苹果、一家人、一班学生等实例进行说明：其中自然数（即元素个数的表达符号）是古代人创造的由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个符号与十进记数法表示的数。由此出发，就有了形式逻辑下，需要的背熟自然数的加法、乘法的运算法则。自然数的表达符号及其运算法则就构成了现行的自然数的初步理论。但在自然数应用时，不能忘掉它们与现实数量的关系，例如; 虽然从纯理论上可以讲：理想自然数10比9大，但还需要知道“9个大苹果比十个小苹果分量大、养分多”。使用自然数表达线段长度的毫米数时，需要知道：“线段长度具有测不准性，使用自然数表示两个线段毫米数的和时，需要进行误差分析”。这个自然数概念的修改说明：自然数理论阐述时，需要使用毛泽东著《矛盾论》中说的“对立统一的法则，是唯物辩证法的最根本的法则”、“一切事物中包含的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾就没有世界”的论述。也需要使用毛泽东在《实践论》中说的“实践、认识，再实践、再认识，这种形式，循环往复以至无穷，而实践和认识之每一循环都比较地进到了高一级的程度”的论述。

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研究数学需要从事实出发，需要使用毛泽东《矛盾论》中的“一切事物中包含的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾就没有世界”。对已有的形式逻辑下的有不可解问题的数学理论，需要使用理论联系实践的对立统一法则进行叙述；不仅错误的逻辑推导，违反事实的数学概念需要删除或改革，而且对正确的逻辑推导需要说明它依据的公理、定义是如何从实践中抽象出来的，需要说明它的应用方法。
具体说来，现行的《初等代数研究》教科书上册 87页提出了“称十进小数α=a0.a1a2……an…… 为实数[10]”的定义是概念混淆的定义。 事实上，这个定义中说的十进小数是以有尽位十进小数为项的无穷数列的简写，这个无穷数列是以自然数n为变数的无穷数列性质的变数而不是定数。
具体讲来，无尽小数有无尽循环与无尽不循环小数两种， 前者是从除不尽的分数得到的针对误差界数列{1/10^n}不足近似值的无穷数列，例如对除不尽的分数1/3,  由于1被3除永远除不尽，只能逐步得到针对误差界数列{1/10^n}不足近似值的无穷数列 0.3，0.33，0.333，……这个数列可以简写为0.333……，并称它为无尽循环小数，它的趋向性极限值才是分数1/3,但它本身永远小于1/3,不等于1/3，现行教科书的等式 0.333……=1/3 是把“趋向看做到达”的概念混淆性的错误等式。 对于无尽不混还小数存在与此类似的概念混淆，例如无理数√2 表示的对2的平方根，具有永远算不到底的性质，这个开方运算只能逐步得到：针对误差界数列{1/10^n}不足近似值的无穷数列1.4，1.41，1.414，……，这个数列可以简写为1.41421356……，这个数列的趋向性极限才是√2，但这个无尽不循环小数永远不等于√2。同理√3的无尽小数表达式1.732……永远不等于√3 ，它只是√3 的不足近似值无穷数列1.7，1.73，1.732，……的简写。总合起来，笔者称有理数与无理数都是理想实数，无尽小数为对应理想实数的针对误差界数列{1/10^n}全能不足近似值的无穷数列的简写；再根据“无穷无有穷尽、无有终了的事实”、无尽小数都具有永远算不到底、写不到底的性质，所以，对除不尽的分数与无理数都需要提出十进小数近似表达式。
对于圆周率π，它也是一个理想实数，它表示直径为1的圆周长。根据“直与曲的对立统一法则”可以将 将圆周等分为为6×2^m 等分之后，使用三角函数公式与半角公式算出的内接、外切多边形周长的数列，首先当m=0时，将圆周等分六等分，每一等分对应圆心角为60度 ，使用半角正弦、正切数值，得到圆内接、外切正六边形周长的准确到 的数字都是3。当m增大时，就会得到圆周率的准确到位数增多的十进小数近似值，例如，取m=18,,即将圆周分为1572864等分，计算出半圆心角正弦、正切后，得到圆内接、外切正六边形周长的准确到1/10^10 的数字都是3.1415926535 ；电子计算机问世以后，法国人计算到50万位数字，茅以升在《十万个为什么》中指出“50万位小数完了吗？没完。永远算不完的，这是个‘无尽’”的数啊！”，这说明：这个全能不足近似值的无穷数列具有永远算不到底的性质，但这个数列可以可以写作：3.1，3.14，3.141，……的以十进小数为项的康托尔实数定义中的基本数列；虽然这个数列可以叫做无尽不循环小数，但它是数列性质的变数，它不能等于 π，它的趋向性极限才是圆周率π 。这种叙述就消除了布劳威尔反例，改善了实数理论。