正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱长为 2，P,Q,R 在 AB,B1C1,DD1 上，求 SΔPQR 的最大、最小值

xueshuxue1973

求助各位大神给这个题的详细解答过程：

數海泛舟

立體幾何，好玩嗎？

波斯猫猫

提示（坐标法）：建立空间坐标系后。1，设出三个顶点的坐标（有三个变量）；2，求出两条边对应的向量；3，用行列式表出其面积，化简有S=f(x,y,z)；4，求函数S=f(x,y,z)的最值。其中，x,y,z∈[0，2]。

xueshuxue1973

能给写写详细过程吗？
最后一步是三变量求最值，很不好求得。
再说能用高中知识求解吗？

luyuanhong

xueshuxue1973

首先谢谢啦，可是棱长为2，所以你的点做标都有点问题喔。求正解

luyuanhong

xueshuxue1973 发表于 2022-4-11 21:18
首先谢谢啦，可是棱长为2，所以你的点做标都有点问题喔。求正解

没有问题。你仔细看看，我设坐标原点为正方体的中心，两边坐标一个是 +1，一个是 -1，两者之间的距离正好等于 2 。

波斯猫猫

题：正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱长为 2，P,Q,R 在 AB,B1C1,DD1 上，求 SΔPQR 的最大、最小值。
思路：借5楼图。设P(x，1，-1)，Q(-1，y，1)，R(1，-1，z)，其中x，y，z∈[-1，1]，
则向量PQ=(-x-1，y-1，2)，向量PR=(-x+1，-2，z+1).
                                                ︱ i           j          k    ︱
故SΔPQR=f(x，y，z)=（1/2）︱-x-1     y-1       2    ︱
                                                ︱-x+1    -2      z+1  ︱
=（1/2）[(yz+y-z+3)i+(zx+z-x+3)j+(xy+x-y+3)k]
=（1/2）√[(yz+y-z+3)^2+(zx+z-x+3)^2+(xy+x-y+3)^2]。
根据对称性，不妨令(yz+y-z+3)^2≥(zx+z-x+3)^2≥(xy+x-y+3)^2，
一方面，f(x，y，z)≥（1/2）√[3(xy+x-y+3)^2]（当且仅当x=y=z时等号成立）
                            =（1/2）√[3(x^2+3)^2]≥3√3/2（当且仅当x=y=z=0时有极小值）。
另方面，f(x，y，z)≤（1/2）√(yz+y-z+3)^2]（当且仅当x=y=z时等号成立）
                            =（1/2）√[3(y^2+3)^2]≤2√3（当且仅当x=y=z=±1时有极大值）。

注：由于存在众多种边值情形与特殊情形，还要检查这些情形后才能得出最值结论。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答已收藏。

xueshuxue1973

谢谢两位大神的回答，已经收藏了，抽空好好学习一下。

能否用高中数学知识来解决呢？