n维向量空间V上的线性变换在V的不同基下的矩阵是相似的？

wufaxian

n维向量空间V上的线性变换在V的不同基下的矩阵是相似的？
请看下图蓝线部分，α，β虽是是n维空间不同基底，但是从α到α的线性变换所对应的矩阵A难道不应该是n维单位矩阵么？(请看图二)同理，B难道不应该是单位矩阵么？如此说来应该存在A=B才对啊。

liangchuxu

没错。\(\sigma\)是一个线性变换，它在不同基下的变换矩阵不同。如果\(\sigma\)在某个基下为单位阵，那它是一个恒等变换。而恒等变换的特征是，它在任何一个基下的矩阵均为单位阵。

wufaxian

liangchuxu 发表于 2022-4-11 05:27
没错。\(\sigma\)是一个线性变换，它在不同基下的变换矩阵不同。如果\(\sigma\)在某个基下为单位阵，那它是 ...

如果是这样，截图最后一行说AB是相似矩阵的结论就不完全正确了。应该说AB是相等矩阵才对吧？

liangchuxu

wufaxian 发表于 2022-4-11 05:59
如果是这样，截图最后一行说AB是相似矩阵的结论就不完全正确了。应该说AB是相等矩阵才对吧？

这个理解不对。

wufaxian

liangchuxu 发表于 2022-4-11 09:17
这个理解不对。

你说的是对的。但是你是否注意到截图中矩阵A正是从α到α的线性变换所对应的矩阵！

liangchuxu

wufaxian 发表于 2022-4-11 09:20
你说的是对的。但是你是否注意到截图中矩阵A正是从α到α的线性变换所对应的矩阵！

不是a经变换后还是a，截图上没有这样的表示。

wufaxian

liangchuxu 发表于 2022-4-11 09:31
不是a经变换后还是a，截图上没有这样的表示。

第一条蓝色下划线

liangchuxu

wufaxian 发表于 2022-4-11 10:40
第一条蓝色下划线

前一个截图没有恒等变换，你后面增加的一个截图是恒等变换

wufaxian

liangchuxu 发表于 2022-4-11 10:49
前一个截图没有恒等变换，你后面增加的一个截图是恒等变换

请问第一个图蓝色下划线的变换属于什么变换？

liangchuxu

wufaxian 发表于 2022-4-11 14:49
请问第一个图蓝色下划线的变换属于什么变换？

从上下文看不出变换有些什么具体特征。可逆或不可逆都有可能。