AD∥BC，E 在 AB 上，DE⊥CE，DE:CE=3:4，O 是 AB 中点，OM⊥CD，证：E≡O 时 OM 最大

ccmmjj

如图，两平行线AD与BC间距离AB长是定值。E是线段AB上的动点，D与C随E点的运动而运动。
但保持DE⊥CE且 DE : CE=3 : 4。O是AB的中点，OM⊥CD垂足是M。
求证：当E点运动到O点位置上时，OM最大。

拓展：其它条件不变，只改变条件 DE : CE=3 : 4 为 DE : CE=r  (r>0)，以上结论是否仍然成立？
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我想了两天，没想到好的方法。用函数导数，过于复杂，不适应教学讲评。请诸位数学大家帮助思考。

ccmmjj

今天突然来了灵感，解决了这个问题。

我的猜测没错，无论这个比是多少，只当E点与O重合时距离最大。

ccmmjj

在用几何画版研究这个问题发现，这个变动的直角三角形CED斜边上的高的垂足是个定点，以此可推出M点的轨迹是一个半圆。这又是一个值得思考的问题。如有同好，盍兴乎来？

luyuanhong

楼上 ccmmjj 的解答很好！已收藏。