线性变换的加法如何证明

wufaxian

请看下图蓝色下划线的命题。如何何证明线性变换\(\left( \sigma+\tau\right)\left( v\right)=\sigma\left( v\right)+\tau\left( v\right)\)  ?

elim

这是线性变换的运算的定义，没有什么要证明的。

liangchuxu

两个n阶矩阵A、B，n维向量X。(A+B)X=AX+BX

wufaxian

liangchuxu 发表于 2022-4-17 19:34
两个n阶矩阵A、B，n维向量X。(A+B)X=AX+BX

看了线性变换的介绍，我原本认为线性变换是本源，矩阵只是线性变换的表象。为什么这么说
\(\sigma\)代表U-->V 的线性变换 \(\sigma\left( x\right)\)其矩阵表示是xA  ，x代表基底。
\(\tau\)代表V-->W 的线性变换  \(\tau\left( x\right)\)其矩阵表示是xB ，x代表基底。
那么一个向量从U变换到W就可以写成：
\(\tau\left( \sigma\left( x\right)\right)=\tau\left( xA\right)=\tau\left( x\right)A=BA\)  
这就利用线性变换解释了矩阵乘法的含义。否则我原来以知认为矩阵乘法是连续的向量乘法。

但是现在用矩阵加法来解释线性变换的加法，我就有点难以接受，感觉有点本末倒置。

liangchuxu

抽象线性变换必须通过具体的矩阵来实现。