为什么研究四色问题时一定要研究不可避免构形的可约性问题

雷明85639720

为什么研究四色问题时一定要研究不可避免构形的可约性问题
雷  明
（二○二二年四月十九日）

为什么研究四色问题时一定要研究不可避免构形的可约性问题？主要是因为四色问题研究的对象是无穷多的平面图的着色问题。平面图既是无穷多的，当然是永远不可能着色完的。那么四色问题也就永远解决不了！
但无论什么事情却总是要有它的解决办法的。对任何平面图着色时最后总是要有一个最后着色的顶点，把这样的还有一个顶点未着色的图就叫做“构形”。构形的度虽然也可以是无穷大的，但任何平面图中却总存在着至少有一个度是小于等于5的顶点，使得我们在着色时总可以把最后的待着色顶点放在度是小于等于5的顶点之上。而只去研究待着色顶点的度是小于等于5的构形，而可以不再对其他大于等于6度的待着色顶点的构形去研究就可以了。这就把一个无穷的问题转化成了一个有穷的问题了。这就是研究四色问题时总是要用有限的构形替代无穷多的平面图的原因。在这里把度小于等于5的待着色顶点的构形就叫做平面图的不可避免构形。
证明四色猜测时研究不可避免构形集的完备性是个重要的问题，不能漏掉一个不可避免的构形，漏掉了就使得证明不完整，就会象坎泊的证明那样，漏掉了含有双环交叉链的5—轮构形，而被后来的赫渥特所否定。使得四色问题直到现在自提出已经过去了170年还没有得到解决。而当只有证明了不可避免构形集是完备的且其中的各不可避免的构形都是可约的（即可4—着色的）时，四色问题也就得到解决了。
如何才能保证不可避免构形集是完备的且都是可约的呢？就得要在对构形进行各级分类时，一定要只分成非此即彼的两类，直到再不能细分时为止。只有这样才不可能产生漏洞。首先把构形可分为可以避免的构形和不可避免的构形两大类。可以避免的构形就不再去研究它了；不可避免的构形还可分为可以直接给待着色顶点着色的构形和不可直接给待着色顶点着色的构形两类。可以直接着色的构形直接给待着色顶点着色就可以了；不可直接着色的构形也可再分为可从围栏顶点中空出颜色的K—构形和不可从围栏顶点中空出颜色的H—构形两类。可从围栏顶点中空出颜色的K—构形把空出的颜色给待着色顶点着上就可以了；不可从围栏顶点中空出颜色的构形还可以分成可以断开双环交叉链的构形（图中含有经过了关键顶点的环形链的构形）和不可断开双环交叉链的构形（图中不含有经过了关键顶点的环形链的构形）。现在就再不可能向下细分了。可以断开双环交叉链的构形采用“断链法”把H—构形直接转化成可以从围栏顶点中空出颜色的K—构形而可约；不可断开双环交叉链的构形采用“转型法”经过有限次（最大限度是不超过40次）的转型，也就可以使H—构形转化成可以从围栏顶点中空出颜色的K—构形而可约。
现在各种类型的构形都是可约的了，四色问题也就得到解决了。四色猜测就被证明是正确的了。


雷  明
二○二二年四月十九日于长安

雷明85639720

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