为什么研究四色问题时一定要研究不可避免构形的可约性问题（修改稿）

雷明85639720

为什么研究四色问题时一定要研究不可避免构形的可约性问题（修改稿）
雷  明
（二○二二年四月十九日）

1、为什么研究四色问题时一定要研究不可避免构形的可约性问题？主要是因为四色问题研究的对象是无穷多的平面图的着色问题。平面图既是无穷多的，当然是永远不可能着色完的。那么四色问题也就永远解决不了！
2、但无论什么事情却总是要有它的解决办法的。对任何平面图着色时，最后总是要有一个最后着色的顶点，把这样的还有一个顶点未着色的图就叫做“构形”。构形中待着色顶点的度虽然也可以是无穷大的，但任何平面图中却总存在着至少有一个度是小于等于5的顶点，这就使得我们在着色时，总可以把最后的待着色顶点放在度是小于等于5的顶点之上。而只去研究待着色顶点的度是小于等于5的构形，而可以不再对其他大于等于6度的待着色顶点的构形去研究就可以了。这就把一个无穷的问题转化成了一个有穷的问题了。这就是研究四色问题时总是要用有限的构形替代无穷多的平面图的原因。在这里把度小于等于5的待着色顶点的构形就叫做平面图的不可避免构形。
3、证明四色猜测时研究不可避免构形集的完备性是个重要的问题，不能漏掉一个不可避免的构形。漏掉了就使得证明不完整，就会象坎泊的证明那样，漏掉了含有双环交叉链的5—轮构形，而被后来的赫渥特所否定。使得四色问题直到现在自提出已经过去了170年还没有得到解决。而当只有在证明了不可避免构形集是完备的、且其中的各个不可避免的构形都是可约的（即可4—着色的）时，四色问题也就得到解决了。
4、如何才能保证不可避免构形集是完备的且都是可约的呢？就得要在对构形进行各级分类时，一定要只分成“非此即彼”的两类，直到再不能细分时为止。只有这样才不可能产生漏洞。
5、首先把构形可分为可以避免的构形和不可避免的构形两大类（一级分类）。可以避免的构形就不再去研究它了；再对不可避免的构形进行第二级分类：
6、不可避免的构形还可分为可以直接给待着色顶点着色的构形和不可直接给待着色顶点着色的构形两类。可以直接着色的构形直接给待着色顶点着色就可以了；不可直接着色的构形再进行第三级分类：
7、不可直接着色的构形也可再分为可从围栏顶点中空出颜色的K—构形和不可从围栏顶点中空出颜色的H—构形两类。可从围栏顶点中空出颜色的K—构形把空出的颜色给待着色顶点着上就可以了；不可从围栏顶点中空出颜色的构形再进行第四级分类：
8、不可从围栏顶点中空出颜色的构形还可以分成可以断开双环交叉链的构形（图中含有经过了关键顶点的环形链的构形）和不可断开双环交叉链的构形（图中不含有经过了关键顶点的环形链的构形）。
9、可以断开双环交叉链的构形采用“断链法”把H—构形直接转化成可以从围栏顶点中空出颜色的K—构形而可约。该类构形还可以根据其中的环形链的种类，再进行细分（第五级分类）。如在BAB型的5—轮构形中，可分为有环形链A—B的构形和有环形链C—D的构形。
10、有环形链A—B的构形，无论该环形链是经过了几个关键顶点（双环交叉链的共同起始顶点A和交叉顶点A），都是一定可以把经过了另两个关键顶点C和D（双环交叉链的两个末端顶点）的C—D链与其他的C—D链分隔在A—B环的两侧，互不连通。交换A—B环任一侧的C—D链或经过关键顶点C和D的C—D链，两条双环交叉链就同时都断开了。构形由H—构形转化成了K—构形；
11、若是有环形链C—D的构形，C—D环若能把两个A色的关键顶点分隔在环的两侧时，从任一个A色的关键顶点开始交换A—B链，也都可以达到同时断开双环交叉链的目的。构形也就由H—构形转化成了K—构形；但若C—D环不能把两个A色的关键顶点分隔在环的两侧时，则不能采用“断链法”，而应与不可断开双环交叉链的构形（不含任何环形链的构形）归为一类采用“转型法”进行处理。
12、这样以来，不可断开双环交叉链的构形实际上又是两类构形（第五级）了。一类是真正的不含任何环形链的构形，一类是虽含有环形的C—D链，但又不能使用断链法的构形。这两类构形都可以经过有限次（最大限度是不超过40次）的转型，都可以使H—构形转化成可以从围栏顶点中空出颜色的K—构形而可约。这里要注意的是，在施行转型法的过程中，有可能在某次转型后的构形是含有环形链的构形，应及时改用断链法进行处理，以提前结束转型过程。
13、现在各种类型的构形也都不可再向下分级分类了，以上所得到的平面图的不可避免构形集也就证明是完备的了，其中的各种不可避免的构形也都是可约的了，四色问题也就得到解决了。四色猜测就被证明是正确的了。

雷  明
二○二二年四月十九日于长安

注：此文原稿已于二○二二年四月十九日在《数学中国》网《哥猜等难题与猜想》栏目中发表过，网址是：
http://www.mathchina.com/bbs/for ... =2051523&extra=修改后的修改稿（即本稿）于二○二二年四月二十日在同样的网上发表，网址是：