平面图中一定含有至少一个度是小于等于5的顶点的证明

雷明85639720

平面图中一定含有至少一个度是小于等于5的顶点的证明
雷  明
（二○二二年四月二十日）

平面图中顶点数相同的图中，边数最多的是极大图，其边数与顶点数的关系是：E（E是边数）＝3V（V是顶点数）－6，其总度数是2E（总度数，每条边是两度）＝6V－12。则各顶点的平均度d是2E/V＝6V/V－12/V＝6－12/V。对d＝6－12/V当顶点数V趋近于无穷大时取极限为d＝6。这是一个极限值，无论V是多大，顶点的平均度d永远也不会达到6。所以也不可能存在各顶点的度都是6的平面图。这也就是说，任何平面图中都至少存在着一个度是小于等于5的顶点。度是小于等于5的顶点就是平面图的不可避免顶点（如二十面体各顶点的度都是5，并没有一个顶点的度是大于等于6的），那么待着色顶点的度是小于等于5的构形，也就成了平面图的不可避免构形了。这就使得我们可以把研究对象是无穷多的图的着色问题，可以转化成只有有限的5种轮构形的着色问题。为四色问题的研究解决打下了基础。

雷  明
二○二二年四月二十日于长安