《论自然数和数学产生的内在根源及发展和导向的内在动力》

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《论自然数和数学产生的内在根源及发展和导向的内在动力》

                                          (一)

……在此我们考察先验的“圆满”欲求，在对数学的诞生和发展所起的重要作用。
       我们曾指出过，主体意欲和感知的内容，在先验的想象中，被设定为单个或多个的“整体”，内容即使呈现为“多象”，它们却蕴含着共具有的“整体性”的“一”，“量”的意识与观念由此渊源而产生。（参见“多象的欲求”一节）。这在“多象的欲求”中表现为本然的“设为整体”，而在“圆满”的欲求中，更侧重表现为自觉扩展的“归属整体”的先验想象力，是数学得以诞生和发展的根本基础。诚然，从表面上来看，作为数学地基自然数的诞生，是缘起于古代人们在生活和实践中用绳结、石块 、或刀刻痕等来一一对应狩猎、收成等生活物的计数活动，但这些对应活动的之所以能成立，是由于人们已在先验的想象中，本然地领悟了在每个生活物和对应计数物之间共具有同一的“整体”特征，使得“一一对应”的计数活动得以可行。
    而又正是有这一领悟，使这一“整体”性质，最终从自然事物中，脱颖而出，成为数学中抽象的“1”。

     自然事物中共有的“整体”性质，由人们使其从自然事物中脱颖而出，成为数学中抽象的“1”，从而自然事物的叠加，最终可以抽象地用“1+1”的不断叠加来对应表示，而“1+1”的每一次叠加，通过“归属整体”的先验想象，又可不断地综合为一个个特定的整体……。在“圆满”欲求的驱动下，将这一个个特定的“整体”有序完备的排列，并用符号来分别予以标示，作为数学地基的“自然数”由此诞生。
     而将“自然数”最后看作是趋于无穷，则是在“超越”欲求先验想象力的参与下，所形成的观念。

數海泛舟

我手頭有一本，康德，純粹理性批判，

jzkyllcjl

數海泛舟 发表于 2022-4-21 01:03
我手頭有一本，康德，純粹理性批判，

根据恩格斯的“只能从现实来说明[5]”的意见，首先需要知道如下的自然数及其集合的如下的从实践出发的定义。
定义2，空集这个术语，表示没有元素的想象性集合；由确定个数的确定事物为元素组成的整体，而且整体不能作为集合元素的集合，叫做现实的正常集合。其中的术语“元素个数”具有忽略现实集合各个元素性质与大小差别的意义，元素个数多少的表达符号叫做理想自然数（在暂时不联系现实数量的纯粹数学研究中可以简称为自然数）。
这个定义下的现实正常集合需要用一篮子苹果、一家人、一班学生等实例进行说明：其中自然数（即元素个数的表达符号）是古代人创造的由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个符号与十进记数法表示的数。由此出发，就有了形式逻辑下，需要的背熟自然数的加法、乘法的运算法则。自然数的表达符号及其运算法则就构成了现行的自然数的初步理论。但在自然数应用时，不能忘掉它们与现实数量的关系，例如; 虽然从纯理论上可以讲：理想自然数10比9大，但还需要知道“9个大苹果比十个小苹果分量大、养分多”。使用自然数表达线段长度的毫米数时，需要知道：“线段长度具有测不准性，使用自然数表示两个线段毫米数的和时，需要进行误差分析”。这个自然数概念的修改说明：自然数理论阐述时，需要使用毛泽东著《矛盾论》中说的“对立统一的法则，是唯物辩证法的最根本的法则”、“一切事物中包含的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾就没有世界”的论述。也需要使用毛泽东在《实践论》中说的“实践、认识，再实践、再认识，这种形式，循环往复以至无穷，而实践和认识之每一循环都比较地进到了高一级的程度”的论述。
对于现行教科书称N=｛0，1，2，3，……｝为自然数无穷集合的论述，也需要根据实践讨论它的来源于有穷集合的本质及其性质。首先，根据自然数的十进计数法可以提出如下的三个以有穷集合为项的无穷序列 ：
{0，1}，{0，1，2}，……，{0，1，2，……，n},……     （1）
或{0，1，2，……，9}，{0，1，2，……，19}，……，{0，1，2，……，10n-1}, ……(2)
或{0，1}，{0，1，2，3，4},……，{0，1，2，……， },……（3）
然后使用广义极限的方法，得到这三个无穷序列的趋向性极限是想象性的元素个数为+∞的无穷集合。由于符号+∞是华东师大《数学分析》上册1980年版80 页中讲的“非正常（或称广义）极限[3]”性质的“非正常实数”。序列（1）中各个集合的元素个数为无穷数列{n+1}，序列（2）中各个集合的元素个数为无穷数列{10n}，序列（3）中各个集合的元素个数为无穷数列 ，虽然这三元素个数列的广义极限都是+∞，根据菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第一卷一分册整序变量的计算不定式,定值法， 与 型不定式定值法计算中都可以使用∞与0的取极限之前变数计算不定式的值。上述三个+∞ 表示的多少是不相同的：（2）式表示的比（1）式表示的元素个数多，（3）式表示的元素个数比（1）（2）式都多。康托尔把无穷集合元素看做定数，提出的无穷基数的做法违背事实；造成了正整数集合1，2，3，……与其平方得到的它的真子集1,4,9,……元素个数相等的做法是错误的，事实上，这两个集合的元素个数分别为： 。使用《微积分学教程》一卷第一分册中，整序变量中的不定式定值法，可以得到两者的比为： 这说明正整数集合1，2，3，……比其真子集1,4,9,……的元素个数多得多；由于对无穷集合一一对应法则进行不到底，不能使用“一一对应法则，得到无穷集合元素个数可以相等”的的集合论，根据上述讨论，应当提出无穷自然数集合如下定义。
定义3：元素个数为有限理想自然数的正常集合叫做有穷自然数集合；若以有穷自然数集合为项的无穷序列的元素个数序列的趋向为包含所有自然数的元素个数为非正常实数+∞的想象性自然数集合，则称：这样的元素个数为非正常实数+∞的含有所有自然数的，不可构造完毕的想象性质的理想性无穷性质的自然数集合；且称N=｛0，1，2，3，……｝为非正常集合。
对于文献[4]叙述了罗素悖伦来看，由于罗素没有提出无穷集合为非正常集合的概念，它的表达式 中的集合x表示的仅仅是他认为的正常集合，所以对文献[4]中说道“所有正常集合组成的集合是不是正常集合”是无法判断的罗素悖伦[4]。现在，根据上述定义3与自然数集合的构造过程就说明：“正常集合有无穷多；以所有正常集合为元素组成的集合是元素个数为+∞的非正常集合”，因此，罗素悖论就不存在了。此外，根据无穷集合不能构造完毕的事实，康托尔无穷基数的术语不能提出，文献[4]中说的“康托尔悖论”也是不存在的。我们不需要为消除这两个悖论去建立ZFC形式语言集合论。此外，由于ZFC形式公理体系中选择公理存在着争论，而且依赖于这个公理的《非标准分析》中提出那种大于N中所有自然数的无穷大自然数，不仅违背了自然数集合N包含了所有自然数的性质，而且它们不能用十进计数法标出，无有使用的必要性。总之，AFC 形式语言公理体系不需要，康托尔的“数学必须肯定实无穷”、“实无穷论者认为：无穷（在数学中表现为无穷集）是一个现实的、完成的、存在着的整体”的观点是违背实践事实的，必须取消的观点。

elim

jzkyllcjl 其实是从他主观唯心的实际出发而已：他连有限集\(\{1,2,\ldots,10^{10000000000}\}\)的元素都枚举不了(更别说完成了!)．另外， 在jzkyllcjl 的自然数定义下数学归纳法原理不成立．

巳下是现行数学的自然数集定义：
定义：若集合\(S\)满足\((\varnothing\in S)\wedge(E\in S\implies E 的后继:=\{E,\{E\}\}\in S)\), 则称\(S\)为归纳集．
无穷公理：归纳集存在．
定义：最小归纳集\(\mathbb{N}:=\bigcap\{S\mid S 是归纳集\}=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing, \{\varnothing\}\},\ldots\}\)  叫作自然数集．
记\(\varnothing\)为\(0,\,n\)的后继 ，\(n\)的后继为\(n’=n+1\)并由此定义加法，进而乘法和\(p\)进制记数法．
归纳集，无穷公理乃至自然数概念是人类数学朴素的计数乃至数论研穷实践的理论总结的集合论表述．也是数学归纳法的基础．显然自然数集是一个无有穷尽，既存但不是由人逐一构造而成的实无穷．现行数学的自然数概念才是从实际出发并被广为认可的．

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《论自然数和数学……》(续)

     所以，自然数的产生和发展，固然离不开人们外在的社会生活和实践活动，但同样也离不开人们先验“圆满”欲求所随生的先验想象力，特别是“归属整体”、“同一、一致”的先验想象力。

     自然事物，大到山岳河湖、小到沙砾水滴，它们个个都具有“整体”的特征，而广繁自然事物所表现出的广多“整体”，激发着人类先验的想象力创生发展出丰富的自然数。 而自然数从有限的自然数，最后发展到“任意多”并“趋于无穷”的自然数，则是人类先验“圆满”欲求的“归属整体”先验想象力，与人类先验“超越”欲求而滋生的先验“超越”想象力，两者的矛盾交织运动，所形成的结果。人类这两种先验想象力的矛盾交织运动，对自然数从有限的自然数，最后发展到任意多并趋于无穷的自然数，起着决定性的作用！
     
      所以，我们如今的“自然数的概念”，其内涵，包含着这样的一个两种先验想象力矛盾交织运动的“思想操作内涵”：“不断地添加1(超越)，并创设一新的整体(归属)，赋予新符号…”。
其外延，便是我们由其内涵所引导，所设想的一个个自然数…。自然数所具有的“无穷”含义，正在于内涵中所规定的：“不断”。而又正是内涵中所规定的这一：“不断”，使自然数外延的“集合”，永远处在“正在集合”的“永无完成”的“开放”之中。所以，自然数不存在一个完成了的、封闭的“无穷自然数集”。所以，“自然数集”永远只是一“潜无穷”，而无有“实无穷”。
所以，有限的“自然数集”，包含有有限的自然数；而若硬设“自然数实无穷集”，那么它不会包含任何的自然数，只包含这样一个元素：它的“永远不断”的操作规定。
    所以，“自然数集”只具有“潜无穷”，而无“实无穷”。而“自然数集”只所以具有“潜无穷”，在于其自然数概念的内涵是“操作内涵”，其操作内涵中设定有：永远不断。

   而又正是自然数的这一操作内涵：“不断地添加1(超越)，并创设一新的整体(归属)，赋予新符号…”。规定了自然数所蕴含的内在同一和统一性特征，使得“数学的归纳法”以及有关的证明及“定理公式”，适用于“趋于无穷”的自然数，例如：自然数的级数求和公式，素数有潜在的无穷多个的证明等等。因为：它们是建立在自然数的同一和统一性特征之上，它们均是以自然数概念的“操作内涵”为前提，而进行的“分析推导演绎”，其所得出的结果，必然会适用于任何的自然数。

elim

楼上的论说基本上是哲学层次的东西，而哲学界是一个没完没了吵架的地方。现代科学一概不处理论域的起源问题而从一些基本原理出发。例如牛顿力学，从绝对时空和三大力学原理出发。数论需要皮亚诺的自然数公理，在这个意义上，自然数集是一个既存的实无穷没商量，人们能够发展的不是自然数而是对自然数这个不变的集合的性质的认识。

jzkyllcjl

π与√2、√3的无尽不循环小数展开式都具有永远算不到底的事实，这些展开式的小数点后的位数是无穷多个，关于无穷的概念存在着“实无穷与潜无穷”的两千多年的争论，王宪钧著 数理逻辑引论[M] ]中讲到“实无穷论者认为：无穷（在数学中表现为无穷集）是一个现实的、完成的、存在着的整体，是可以认识的；潜无穷论者否定实无穷，认为无穷并不是已完成的而是就其发展来说是无穷的，无穷只是潜在的[1]。”这个实无穷观点中的“完成的”定语，违背“无穷是无有穷尽、无有终了事实”。所以，康托尔的“数学必须肯定实无穷”的意见不成立，ZFC形式公理中的“无穷集合存在公理”需要改写为“无穷集合是其元素个数趋向于 ，但永远无法构造完毕的想象性非正常集合”。徐利治先生在文献[2]中介绍了布劳维尔（Brouwer）提出的反例。这个反例涉及到无理数的无尽不循环小数的展开式中的① 这些展开式中没有“百零排（即100个连续的0）”；② 这些展开式中有奇数多个“百零排”；③ 这些展开式中有偶数多个“百零排”的三个命题是不是能行的可判断的问题。关于 可判断问题，在黄耀枢《数学基础引论》（北京：北京大学出版社，1987出版，）讲了：定义1.20(能行可判断性)  如果存在一个算法，使得对所给的公式集合中每一个公式的真假，都能在有穷步数内做出答案，那么我们说这集合中的公式是能行可判断的。根据这个定义，上述三个命题都不是能行可判断问题，猅中律失效。文献[1]中也讲到排中律失效的例子。由于无尽不循环小数展开式具有永远算不到底的不可判断的性质，布劳威尔不能使用两次猅中律，提出一个实数Q，与这个实数 是大于、小于或等于0的无法判定实数的三分律反例，虽然徐利治说过“在实无穷意义下，应用两次排中律可以判断这个实数 是大于、小于或等于0的问题”，但“这个问题不是实无穷问题，究竟这个实数 是大于、小于或等于0呢？的问题是一个无法判断的问题”。所以，徐利治先生最后讲到：“看来，这还是一个不易解决的难题”,“希望对布劳维尔(Brouwer)反例感兴趣的读者继续研究下去”。笔者研究后得到的结论是：根据“无穷是无有穷尽、无有终了的事实”，“百零排”的这三种命题都是由于永远算不到底的不可判断的命题，布劳维尔（Brouwer）不能使用两次猅中律，提出他那个实数Q，这样就消除了布劳威尔这个反例。春风晚霞坚持的“数学表述系统中所允许的方法只有演绎推理的方法，……使用两次猅中律得到的三者有且只有一个命题成立的结论”是无效的，事实是：他无法得到三个命题究竟哪一个成立的问题。这说明：数学理论的阐述，不能单靠形式逻辑，也说明：无尽小数永远写不到底的事实必须受到尊重。

elim

畜生不如的jzkyllcjl 具有不住吃狗屎啼猿声的性质．无理数与它的无尽小数表示的的等值及后者是定数这个事实不以人对其的计算无法完成为转移．

ba571016

ba571016 发表于 2022-4-21 22:54
《论自然数和数学……》(续)

     所以，自然数的产生和发展，固然离不开人们外在的社会生活和实践活动 ...

《论自然数和数学…》 (续)

                                     (二)

      数学最原初的活动，主要表现为在生产生活实践中对自然事物多寡的计算和空间的长度、面积及体积上大小的比较，并且也意识到，事物的多寡与占据空间大小，两者之间存在的相互联系。在自然数的诞生过程中，人们逐渐清楚的意识到，相同“1”的不断叠加构成的自然数列，其每一个特定整体，都能用小于它的一些特定整体的叠加来精确表示，两者之间存在着确定的相等关系；而反之，小于它的某些特定整体，也可以用去掉另些小于它的特定整体的方式来确定得之，这便产生最基础的数学加减运算。加减运算向“倍积”和“均分”的进一步拓展，便产生乘法和除法的运算……。在自然数中所拓展开的这种纯粹抽象运算的确定和精确性，在“同一，一致”的本然欲求和想象驱使下，人们相应地以此为摹本，将其“同构”地“投射”和“复印”于人们生产生活中的各种自然事物空间大小、重量及其它大小的比较活动中（例如人们用最小线段刻度作为“1”的重复叠加做成单位绳尺来精确度量、比较和计算面积），人们对生产生活中自然事物的多种大小比较活动，第一次得到了“量”的精确比较和计算。

数学，第一次萌发出它朝气的生命与力量。

当然，这种纯粹抽象运算的精确和确定性，是相比于人们以前对自然事物“量”的比较活动而言，其后遇到了“不可通约”的 “无理数”困绕，促使数学产生了新的发展和变革。

ba571016

在此，谈谈对“无理数”的认识。

数学史上所谓发现“无理数”的第一次“数学危机”，其实并非是“数学的危机”，而是认为自然数及相除(比)组成的分数是世界万象本源所在的“众多古希腊人”的信仰危机。

古希腊著名的毕达哥拉斯学派认为：世界万象的本质：在于由最本源的数：“1”，而扩展出来的自然数以及其相除(比)组成的“分数”，它们之间所潜含的丰富数量关系。所以，世界上的一切事物的存在、相互作用及运变状态，最终都可用确定的整数和分数来予以表达和度量。
其实古希腊人本应该对发现√2不能被表达为自然整数及分数不感惊讶，因为这是自然数本身的性质，所必会导出的“自然逻辑”：

自然数中，自然数的n次方(n为>1正整数)必为自然数。而作为逆运算，一切“能n次开方为整数”的自然数，必是自然数中“质数”的n次方，以及“相异质数乘积”的n次方所“映射”的自然数。
     
在分数中，分数的n次方必为分数。而作为逆运算，一切“能n次开方为分数”的分数，则也是由它们(这些“质数”及“相异质数乘积”)以相除组成的“分数”之n次方，所映射的分数。

     因而，这些“质数”及“相异质数乘积”，以及由它们以相除组成的“分数”之开方数，则自然必不会在一切的有理数之内，而在一切有理数之外，成为一新的数域：“代数数”中的无理数。

      而有理数q或无理代数数w的n整数开方可用q^1/n或w^1/n来表示，所以，有理数q的分数次方q^m/n，必或为有理数，或为无理数，“无理代数数”的分数次方w^m/n,则必为无理代数数。

      所以，有理数q的非整数以及非分数次方：q^√P(p为质数)，“无理代数数”的非整数以及非分数次方w^√p, 则必在有理数和“无理代数数”之外，即为：超越数。