一个初中生的疑惑

伽利略转世

       大家好，我只是一个普普通通的初中生，今天是我第一次发帖，有些地方不太好请见谅。我昨天学了“不等式的性质”这一课，我对其中的一个性质产生了疑问：课本上说“不等式两边同时乘或除以一个正数，不等号方向不变。”但是我却发现：1>0.9，9循环，按照这条性质，不等式两边同时除以3，不等号应当不变才是，可是1÷3=1/3,0.9，9循环÷3=0.3,3循环，而1/3=0.3,3循环，不等号变成了等号……
     也就是说，要么这条性质不对，要么公认的1/3=0.3，3循环是不对的。但我只是个初中生，所以我想请教一下各位高手帮我解开疑惑，谢谢。

波斯猫猫

事实上1=0.99999...，而不是1＞0.99999...。把“有限“与“无限“混为了一谈。

伽利略转世

波斯猫猫 发表于 2022-4-23 09:27
事实上1=0.99999...，而不是1＞0.99999...。把“有限“与“无限“混为了一谈。

啊？这个我也看过，但我觉得这个存在一些矛盾：你们说1/3=0.3,3循环，两边同时乘3就可证明1=0.9999999……但是在某种意义上我认为，0.9999999999……是一个数除以另一个数永远有余数，而0却没有余数，不论是在形式上还是意义上都有所不同，所以我还是觉得0.9999999……<1。或许我的说法的确是错的，但我希望你们能够理解我，帮我一下（我认为：如若我想的没有错的话，那么我们就应该承认1除以3不等于0.9999999999……还有一个原因就是，1除以3一直都余1，而0.99999……我就不知道了）

伽利略转世

哪位朋友可以帮我解开这个谜题啊?谢谢

elim

中学生没有极限概念的话，有疑惑可以理解，否则下面是简单的补课.
首先，数学不能靠感觉，要实际计算和论证，其次，学过的东西要会运用：
\(0.999\ldots=\frac{9}{10}+\frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}+\ldots={\small\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{9}{10^n}=\lim_{n\to\infty}9\sum_{k=1}^n(10^{-1})^k}\)
\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\small\frac{9}{10}\frac{1-10^{-n}}{1-10^{-1}}=1\)

伽利略转世

嗯，虽然看不太懂，但还要谢谢你理解我，等以后应该就学了.

elim

伽利略转世 发表于 2022-4-22 20:55
嗯，虽然看不太懂，但还要谢谢你理解我，等以后应该就学了.

等学了等比级数求和以及极限，就懂了. 另外也可以这么干：

对不等式 \(0\le 1-0.999\ldots < 1-0.\underset{n个9}{\underbrace{99\ldots 9}}=1-10^{-n}\) 令\(n\to\infty\)
即得 \(0.999\ldots = 1.\)

学数学的忌讳是吃狗屎也就是不逻辑，不上巨人的肩膀，夜郎自大.

春风晚霞

现行初中数学教科书，应该介绍了有理数的\(\mathbf{稠密性}\)(即任何两个不等的有理数间，存在无限多个有理数,也就是有理数密而有隙),和实数的\(\mathbf{连续性}\)(表示实数的点，连续无间，布满整个数轴)。楼主认为0.999……<1，那么就应该存在纯小数c使不等式0.999……<c<1成立，由c>0.999……，于是根据\(\mathbf{逐位比较法}\)：纯小数c在小数点的后边至少存在某一数位上的数字大于9，这与9是0到9这10个数字中的最大数矛盾。所以c不存在，故此0.9999……<1不成立。易知无限循环小数0.999……>1也不成立。所以，根据数的三歧性(也叫数的三分律)有：0.9999…=1。

伽利略转世

春风晚霞 发表于 2022-4-23 12:40
现行初中数学教科书，应该介绍了有理数的\(\mathbf{稠密性}\)(即任何两个不等的有理数间，存在无限多个有理 ...

哦，这么说也对哎，谢谢

elim

这个帖子很好地说明了 jzkyllcjl 相当于初小差班老生，九十出头了，还不知道人类数学的无尽小数怎么计算。