太阳先生的角BKE等于多少？

yangchuanju

太阳先生的角BKE等于多少？
太阳先生于2022年3月1日在《数学中国  哥猜等难题和猜想》中发帖《尺规作图∠BKE＝40°》
http://www.mathchina.com/bbs/for ... ead&tid=2050906

太阳先生的原图复制不过来，请参见太阳先生的原始贴。

根据太阳先生所给条件可知，三角形APD为等腰三角形，角PAD=角PDA=75度，角APD=角EPF=30度；
在三角形PEF、三角形CEK和三角形BFK中，角PEF+角EFP=150度，角PEF+角EKC=90度，角EFP+角PFK=180度；角FBK=60，角PFK+角BFK=120度；
令角PEF=E，角EFP=Fa，角PFK=Fb，角EKC=K；
有E+Fa=150，E+K=90，Fa+Fb=180，Fb+K=120；此为一个四元一次方程组。
方程1减方程2消E：Fa-K=60，Fa+Fb=180，Fb+K=120；
方程3-(1-2)消Fa：Fb+K=120；
变成两个相同的二元一次方程Fb+K=120，无法再向下求解。

在等腰三角形APD中，令AD=1，则AP=DP=0.5/cos(75°)=0.5/0.258816=1.931874，以AP为半径，点P为圆心作圆P，圆P位置和大小固定。
然而线段BC位置和长度是不定的。
以圆P的直径APT的一部分BT为半径，点B为圆心作圆B，由于点B位置不定，所以圆B位置和大小均不固定；唯一可确定的是这一族圆均与圆P相切与点T。
根据上述条件太阳先生所给条件中的点B不是定点，点K位于动圆B上，连TK，在三角形BTK中，角TBK=60度，BK=BT=TK，三角形BTK为正三角形，圆K一定通过切点T。

另行分析：
一般的，以动点K为圆心，BK为半径作圆K，交DCP的延长线于点E，连EK，EK=BK；但角BKE=?不知。
当点B逐渐向点P靠近时，圆B变成以点P为圆心，PT为半径的圆P=圆B2；延长线段BC交圆B2（即圆P）于K2（在圆P上），BK逐渐上移至P；此时BK变成PK2，动点K跑到圆P之上，点E、点F都移到点P之处，角BKE变成角PKP等于0度了。
当点B逐渐向点A靠近时，圆B变成以点A为圆心，AT为半径的圆A=圆B1；延长线段BC交圆B1（即圆A）于K1（在圆A上），BC和BK逐渐下移至A；此时BC变成B2C1，BK变成AK1，动点K跑到圆A之上，交点E有所上移；但E移到哪里？角BKE=?
根据三角形ADC1和圆K1（通过A）可求得AC1=AD*cos(15°)=1* 0.965926= 0.965926，C1K1=AK1-AC1=AT-AC1=2*1.931874-0.965926= 2.897822，
在直角三角形E1C1K1中，直角边C1K1=2.897822，斜边E1K1=AK1=3.863748，con(角C1K1E1)= 2.897822/3.863748=0.750003，角C1K1E1=41.409度（此角为最大值）。
据此可得太阳先生的角BKE在0-41.409度之间变化，最大值为41.409度，非40度也！

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对于四边形ABCD，角BAD=角ADB=75度，角ABC=120度，角BCD=90度；令AD=1，延长AB和DC相较于P。
再令点BC逐渐由A平移到P，四边形的各个角度不变。
当点B位于A时，四边形变成一个小直角三角形ACD，角CAD=15度，AC=1*cos（15/180*3.1416）=0.965926,
将线段AP平均分成10份，做11条平行线BC，其长度分别为
分点        BP/AP        BC长
1        1        0.965925668
2        0.9        0.869333101
3        0.8        0.772740534
4        0.7        0.676147967
5        0.6        0.579555401
6        0.5        0.482962834
7        0.4        0.386370267
8        0.3        0.2897777
9        0.2        0.193185134
10        0.1        0.096592567
11        0        0

根据等腰三角形APD的边角关系，可求得AP=0.5/cos(75/180*3.1416)=1.931874，AT=2*AP=3.863748；
最长的B1K1=AK1=AT=3.863748，最短的B11K11=PK11=PT=1.931874，其余9条BiKi渐短（i=2,3，…10）；
分点        BK长        CK长        EK长        cos(角BKE)        角BKE(°)
1        3.863748        2.897822332        3.863748        0.750002933        41.40927122
2        3.6705606        2.801227499        3.6705606        0.763160673        40.25627208
3        3.4773732        2.704632666        3.4773732        0.777780385        38.94211255
4        3.2841858        2.608037833        3.2841858        0.794120062        37.42769032
5        3.0909984        2.511442999        3.0909984        0.8125022        35.65878811
6        2.897811        2.414848166        2.897811        0.833335289        33.55702862
7        2.7046236        2.318253333        2.7046236        0.857144533        31.00246021
8        2.5114362        2.2216585        2.5114362        0.884616738        27.79554118
9        2.3182488        2.125063666        2.3182488        0.916667644        23.55626906
10        2.1250614        2.028468833        2.1250614        0.954545988        17.34129974
11        1.931874        1.931874        1.931874        1        0

yangchuanju

令角BKE=40度，cos（40°）=0.76604339=CK/EK=CK/BK；
CK=BK-BC=1.931874+1.931874*X-0.965926*X=1.931874+0.965948*X
BK=1.931874+1.931874*X
CK/BK=(1.931874+0.965948*X)/(1.931874+1.931874*X)=0.766043
1.931874+0.965948*X=0.766043*1.931874+0.766043*1.931874*X=1.479899+1.479899*X
0.451975=0.513951*X
X=0.879411=BP/AP
BP=AP*X=1.931874*0.879411=1.698912或AB=0.232962
找到点B后，做出BC并延长交圆B于K；
再以K为圆心，BK为半径画弧线交DC延长线于E，连EK，角BKE为所求，它等于40度。

该40度之角可不是用尺规作出的嗷！