已知正整数数列 {a(n)} 为严格递增数列，满足 a(a(n))=4n ，求 a(8)

wintex

請問數列

lihp2020

an=2n  a8 =16

luyuanhong

题  已知正整数数列 {a(n)} 为严格递增数列，满足 a(a(n)) = 4n ，求 a(8) 。

解  这个数列的通项公式为 a(n) = 2n ，n=1,2,3,…

    下面看看这一公式是否满足 a(a(n)) = 4n ：

        a(a(1)) = a(2×1) = a(2) = 2×2 = 4 = 4×1 ，

        a(a(2)) = a(2×2) = a(4) = 2×4 = 8 = 4×2 ，

        a(a(3)) = a(2×3) = a(6) = 2×6 = 12 = 4×3 ，

         ……

        a(a(n)) = a(2n) = 2×2n = 4n 。

   所以 a(8) = 2×8 = 16 。

Future_maths

得出a(n)=2n的结论不严谨吧

lihp2020

Future_maths 发表于 2022-4-28 10:57
得出a(n)=2n的结论不严谨吧

填空题  an=2n 是满足 a(a(n))=4n

lihp2020

不利于an=2n 解法：
由于严格递增正整数序列
就得 a(1)<a(2)<a(3)<a(4)
0<a(1)<4
分别带入 0 1 2 3 验证可以发现 a(1)只能=2
就能算出 a(1)=2 a(2)=4
再来a(a(2)) =8 a(4)=8
再来a(a(4)) =16 a(8)=16

wintex

luyuanhong 发表于 2022-4-28 10:39
题  已知正整数数列 {a(n)} 为严格递增数列，满足 a(a(n)) = 4n ，求 a(8) 。

解  这个数列的通项公式为 ...

請問陸老師
a(a(n)) = 4n 是怎麼猜出來的？

luyuanhong

题  已知正整数数列 {a(n)} 为严格递增数列，满足 a(a(n)) = 4n ，求 a(8) 。

解  因为 4n = a(a(n)) ，所以 a(4n) = a(a(a(n))) = 4a(n) 。

    用 n=1 代入 a(4n) = 4a(n) ，有 a(4) = 4a(1) 。

    用 n=4 代入 a(4n) = 4a(n) ，有 a(16) = 4a(4) = 4×4a(1) = 16a(1) 。

    用 n=16 代入 a(4n) = 4a(n) ，有 a(64) = 4a(16) = 4×16a(1) = 64a(1) 。

    …………

   从 a(4) = 4a(1) ，a(16) = 16a(1) ，a(64) = 64a(1) ，可看出有 a(n) = na(1) 。

   用 na(1) 代入 na(1) = a(n) 中 n 的位置，有

   n[a(1)]^2 = na(1)a(1) = a(na(1)) = a(a(n)) = 4n 。

   上式两边约去 n ，得 [a(1)]^2 = 4 ，a(1) = ±2 。

   如果 a(1) = -2 ，则 a(n) = na(1) = -2n ，{a(n)} 严格递减，不合题意，应舍去。

   所以只能是 a(1) = 2 ，这时 a(n) = na(1) = 2n 。

   所以，a(8) = 2×8 = 16 。