已知 lim(x→+∞)x[ae^(1／x)-1] 极限存在，lim(x→+∞)[ae^(1／x)-1] 是否必为 0 ？

泮安宁

\(\lim_{x\to\infty}x\left( ^{e^{\frac{1}{x}}}-1\right)\)极限存在，那么\(^{e^{\frac{1}{x}}}-1\)的极限一定为0，对吗，为什么

luyuanhong

问 极限 lim(x→∞)[e^(1／x)-1] 是否一定为 0 ？

答  是的。因为 x→∞ 时，不管是 x→+∞ 还是 x→-∞ ，总是有

                          lim(x→∞)1／x = 0 。
   
    所以

                     lim(x→∞)e^(1／x) = e^0 = 1 。

    所以

              lim(x→∞)[e^(1／x)-1] = e^0 - 1 = 1 - 1 = 0 。

泮安宁

luyuanhong 发表于 2022-4-30 21:18
问  极限 lim(x→∞)[e^(1／x)-1] 是否一定为 0 ？

答  是的。因为 x→∞ 时，不管是 x→+∞ 还是 x→- ...

真是不好意思，我漏了一个字母，式子写错了应该是
\(\lim_{x\to+\infty}x\left( ae^{\frac{1}{x}}-1\right)\)的极限存在，那么极限\(\lim_{x\to+\infty}\left( ae^{\frac{1}{x}}-1\right)\)
的极限也一定存在且等于0吗

luyuanhong

问 已知 lim(x→+∞)x[ae^(1／x)-1] 极限存在，lim(x→+∞)[ae^(1／x)-1] 是否必为 0 ？

答 因为 lim(x→+∞)1／x = 0 ，所以总是有

   lim(x→+∞)[ae^(1／x)-1] = ae^0-1 = a-1 。

   假设 a-1 ≠ 0 ，则必有 a-1＞0 或 a-1＜0 。

   如果 lim(x→+∞)[ae^(1／x)-1] = a-1 ＞ 0 ，则当 x 充分大时，必有

              ae^(1／x)-1 ≥ a-1-ε ＞ 0 。

   所以有

        lim(x→+∞)x[ae^(1／x)-1] ≥ lim(x→+∞)x(a-1-ε) = +∞ 。

   可见 a-1＞0 时，极限不存在，与已知 lim(x→+∞)x[ae^(1／x)-1] 极限存在矛盾。

   如果 lim(x→+∞)[ae^(1／x)-1] = a-1 ＜ 0 ，则当 x 充分大时，必有

              ae^(1／x)-1 ≤ a-1+ε ＜ 0 。

   所以有

        lim(x→+∞)x[ae^(1／x)-1] ≤ lim(x→+∞)x(a-1+ε) = -∞ ，

   可见 a-1＜0 时，极限也不存在，与已知 lim(x→+∞)x[ae^(1／x)-1]  极限存在矛盾。

   所以假设 a-1 ≠ 0 不成立，必有 lim(x→+∞)[ae^(1／x)-1] = a-1 = 0 。

泮安宁

luyuanhong 发表于 2022-4-30 22:46
问 已知 lim(x→+∞)x[ae^(1／x)-1] 极限存在，lim(x→+∞)[ae^(1／x)-1] 是否必为 0 ？

答 因为 lim(x ...

由此是不是可以延伸一下呢，使其具有一般性
一个极限与无穷大乘积的极限若存在，那么这个极限必为零
不知道这样描述对不对，还请陆前辈指点

luyuanhong

对，一般来说，有这样的结论：

若已知 lim[f(x)g(x)]=A 极限存在，且 limf(x)=∞ ，则必有 limg(x)=0 。

泮安宁

luyuanhong 发表于 2022-5-1 08:17
对，一般来说，有这样的结论：

若已知 lim[f(x)g(x)]=A 极限存在，且 limf(x)=∞ ，则必有 limg(x)=0 。

谢谢，明白了