已知有理数 a,b 满足等式 a^5+b^5=2a^2b^2 ，求证：1-ab 是一个有理数的平方

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设有理数a,b满足等式a^5+b^5=2a^2b^2,求证1-ab是一个有理数的平方

波斯猫猫

题：已知有理数 a,b 满足等式 a^5+b^5=2a^2b^2 ，求证：1-ab 是一个有理数的平方 。

思路：当a=0时，显然1-ab 是有理数1的平方 。

当a≠0时，由 a^5+b^5=2a^2b^2 ，得b≠0（若b=0，易证a=0，这与前提条件矛盾）。

因这时a和b皆为非零有理数，故总存在非零有理数c（c≠-1），使得b=ca 。

把此代入a^5+b^5=2a^2b^2中，得a^5+c^5a^5=2a^2c^2a^2，

即a=2c^2/(c^5+1)。从而b=2c^3/(c^5+1)。

故，1-ab=1- 4c^5/(c^5+1)^2=[(c^5-1)/(c^5+1)]^2，即1-ab是一个有理数的平方 。证毕。

波斯猫猫

题：已知有理数 a,b 满足等式 a^5+b^5=2a^2b^2 ，求证：1-ab 是一个有理数的平方 。

另一思路：考虑ab≠0，因有理数 a, b 满足a^5+b^5=2a^2b^2 ，

故，(2a^2b^2)^2 (1-ab)=(2a^2b^2)^2 -4a^5b^5=(a^5+b^5)^2 -4a^5b^5

=(a^5-b^5)^2 ，即1-ab=[(a^5-b^5)/(2a^2b^2)]^2。此为有理数(a^5-b^5)/(2a^2b^2)的平方 。

特别地，当a=0，或b=0时，显然，1-ab 是有理数1的平方 。毕。

luyuanhong

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llshs好石

请各位老师多多指教 ，谢谢

llshs好石

luyuanhong 发表于 2022-5-14 09:31
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搞错了 ，已修正

luyuanhong

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波斯猫猫

题：已知有理数 a,b 满足等式 a^5+b^5=2a^2b^2 ，求证：1-ab 是一个有理数的平方 。

再给一思路：由a^5+b^5=2a^2b^2，有a^2(a^3-b^2)+b^2(b^3-a^2)=0。

令a^2(a^3-b^2)=e，则b^2(b^3-a^2)=-e   (a,b,e皆有理数)。

故，e^2=a^2b^2(a^3-b^2)(a^2-b^3)=a^2b^2(a^5+b^5-a^3b^3-a^2b^2)

             = a^2b^2(2a^2b^2-a^3b^3-a^2b^2)=a^4b^4(1-ab)，

即1-ab=e^2/(ab)^4是一个有理数的平方 。

特别地，当ab=0时，显然1-ab 是有理数1的平方 。毕。

波斯猫猫

题：已知有理数 a,b 满足等式 a^5+b^5=2a^2b^2 ，求证：1-ab 是一个有理数的平方 。

再给一思路：当ab=0时，显然1-ab 是有理数1的平方 。

当ab≠0时，总存在有理数λ和μ，使得a^3=λb^2，b^3=μa^2，从而ab=λμ。

因a^5+b^5=2a^2b^2 ，故^5+b^5=(λ+μ)a^2b^2=2a^2b^2 ，即λ+μ=2。

所以，1-ab=1-λμ=1-λ(2-λ)=(1-λ)^2。此即一个有理数的平方 。毕。

波斯猫猫

题：已知有理数 a,b 满足等式 a^5+b^5=2a^2b^2 ，求证：1-ab 是一个有理数的平方 。

证：当ab=0时，显然1-ab 是有理数1的平方 。

当ab≠0时，令a^5=a^2b^2 +c(c为有理数)，则b^5=a^2b^2-c ，故a^5b^5=a^4b^4-c^2 ，

或c^2=(ab)^4(1-ab)，即1-ab=c^2/(ab)^4。此即一个有理数的平方 。毕。