不可能用尺规作图法得到80度角

yangchuanju

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假定角ABK等于80度，连接AK，等腰三角形ABK的腰AB和AK都等于大圆半径，令其长等于1；底边BK所对应大圆弧为20度；BK长=1*cos80*2=0.347296355。
由于BKG=60度，延长KG必然通过点M；作大圆的垂直半径AQ交TP于W，交GM于S；作GZ垂直于MC，交MC于Z；
在直角三角形MAS和MZG中，MA=1，GZ=0.4330127；令AZ=x，AS=y，则tanGMA=GZ/MZ=AS/MA=0.4330127/(1+x）=y/1；
又角KMC=角GMA是大圆的一个圆周角，对应弧长等于40度（求证从略），故角GAM=20度；
tan20°=0.363970234=y；x=0.4330127/0.363970234-1=0.189692621，即WG=0.189693621；
小圆半径GE=0.5-0.189693621=0.310307379
GH=GE-HE=0.310307379-0.25=0.060307379

yangchuanju

求点F坐标及角GFH
AB方程：y/x=0.866/0.5，y=1.732x
小圆方程：(x-0.5)^2+(y-0.433)^2=0.3103^2
(x-0.5)^2+(1.732x-0.433)^2=0.09629067
x^2-x+0.25+3x^2-1.5x+0.1875=0.09629
4x^2-2.5x+0.34120933=0
x=(2.5-(6.25-4*4*0.34120933)^0.5)/8=0.201351822
y=0.348751586
HF长=0.097296356
在三角形GHF中，角GHF=60度，GH=0.060307379，HF=0.097296356，
两边夹角求GF=0.085063933
cosGFH=0.789320037
角GFH=37.87798677度

yangchuanju

求点K坐标及角BHK
在三角形ABK中，AB=AK=1，BK=0.347296355；
角KAC=40度；Kx=1*cos40=0.766044443，Ky=1*sin40=0.64278761；
在三角形BHK中，HB=0.5，BK=0.347…，角HBK=80°；
HK=(HB^2+BK^2-2*HB*BK*cos80）^0.5=0.557052403
cosBHK=(HB^2+HK^2-BK^2)/(2*HB*HK)=0.789320033
角BHK=37.87798714度

yangchuanju

结论：不可能用尺规作出80度角
给定角ABK=80度，角BKG=60度，反求角GFH=37.87798677度，角BHK=37.87798714度，两角近似相等，但不完全相等。
或许两个角不完全相等，是计算误差所致，太阳先生的结论有可能是正确的。

即便两角相等，太阳先生也无法完成80度的尺规作图，因为小圆半径EG是无法用尺规做出来的。
在先用尺规作出等边三角形ABC、大半圆MBC、三角形中位线TEY后，K位置不定，连接KM所得与中位线的交点G不固定，亦即小圆半径不固定；
经无数次试验，总有一对点K和G使得角GFH=角BHK，然而此时的角ABK严格的等于80度吗？
即便角ABK=80度，那叫尺规作图吗？

yangchuanju

相关点坐标（A为原点）：               
A        0        0
B        0.5        0.866025404
C        1        0
D        0.5        0
E        0.5        0.433012702
G        0.189692621        0.433012702
H        0.25        0.433012702
Q        0        1        垂直半径与大圆弧交点
W        0        0.433012702        垂直半径与中位数交点
Z        0.189692621        0        GZ与MAC交点
F        0.201351822        0.348751586
K        0.766044443        0.64278761

太阳

纯几何方法证明∠GFH＝∠BHK，找到唯一解，80°尺规作图

太阳

经无数次试验，总有一对点K和G使得角GFH=角BHK
事实上说明∠GFH唯一数值，唯一解，找到唯一解，80°尺规作图

太阳

yangchuanju 发表于 2022-5-17 10:24
结论：不可能用尺规作出80度角
给定角ABK=80度，角BKG=60度，反求角GFH=37.87798677度，角BHK=37.87798714 ...

小圆半径不固定，因为没有找到唯一解

yangchuanju

几何-三角法联合求解角BHK
连接AK，并令AC=1，在三角形ABK中，AB=AK=1，角BAK=20°，BK=2*sin10°；
在三角形HBK中，HB=0.5，BK=2*sin10°，角HBK=80°，
HK=[0.5^2+(2*sin10°)^2-2*0.5*2*sin10°*cos80°]^0.5=[0.25+(2*sin10°)^2-2*sin10°*cos80°]^0.5
或HK=[0.25+2*(sin10°)^2]^0.5
cosBHK=[HB^2+HK^2-BK^2]/[2*HB*HK]=[0.5^2+0.25+2*(sin10°)^2-(2*sin10°)^2]/[2*0.5*(0.25+2*(sin10°)^2)^0.5]
=[0.5-2*(sin10°)^2]/[0.25+2*(sin10°)^2]^0.5=0.789320033
∠BHK=arccos[0.5-2*(sin10°)^2]/[0.25+2*(sin10°)^2]^0.5=37.87798714°