重复的模式，不重复的人生

luyuanhong

重复的模式，不重复的人生

以下文章来源于原理 ，作者Takeko



我们先来尝试一次 DIY ：

● 从一个等边三角形开始

● 把这个三角形分成四个大小相等的等边三角形，然后去掉中间的那一个

● 对剩下三个等边三角形重复相同的步骤，将每个三角形分成相同的四个小等边三角形，并去掉中心的那个


谢尔宾斯基三角。

如果最初的三角形面积是 A ，周长为 P ，那么经过 n 步之后，剩余的面积便是 (3/4)^n A ，剩余周长总和是 (3/2)^n P，也就是说，每进行一步，我们都在减少面积，增加周长。如果最初的三角形周长是 1 厘米，按这个步骤重复 62 次，这个只有指尖大小的图案的周长总和就足以延伸到地球并返回，面积只剩 3.45×10^(-9) 平方厘米。

这简单几步的巧妙之处在于，反复进行相同的步骤，理论上来说就可以得到一个分形。也就是说，无论把这个图形放得多大，它看起来都是一样的，它是一种在自身内部不断重复的模式。

在许多历史建筑和艺术作品中，都可以看到瓷砖铺砌的类似图案。在数学上它们也有自己的名字，被称为谢尔宾斯基三角，因为波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基（Waclaw Sierpinski）在 1916 年首次思考并描述了这种三角形的数学性质。


除了三角形，还有一种类似的正方形版本的分形，被称为谢尔宾斯基地毯。

在数学界，谢尔宾斯基的名字还和其他许多问题联系在一起。这位高产的数学家一生中发表了 724 篇论文，出版了 50 部图书，在拓扑学、数论、集合论等诸多领域做出了惊人的贡献。

  天赋少年  

1882 年 3 月 14 日，谢尔宾斯基出生于波兰华沙。他的父亲是当地颇有名望的医生。谢尔宾斯基从小便获得了最好的学校教育。中学时期，在数学老师的影响下，谢尔宾斯基已经显露出了对数学的兴趣，与生俱来的天赋也初步展现。

1900 年，天赋异禀的谢尔宾斯基考入华沙大学数学与物理系。他在学校受到了俄国著名数学家、数论专家格奥尔基·沃罗诺伊（Georgy Voronoy）的影响，这甚至决定了他今后几十年的研究方向。

大学期间，他成了数学与物理系最出色的学生，并在 1903 年获得了系里颁发的学生论文金奖。但由于谢尔宾斯基并不想以俄语发表自己的研究，这篇论文直到几年后才以波兰语发表。

大学毕业后，谢尔宾斯基先是成了一名中学数学和物理老师。几年后，学校因罢工被关闭，他决定前往克拉科夫继续学业，并于 1905 年最终拿到了博士学位。


瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基。| 图片来源：Polskie Radio

  高产研究

在谢尔宾斯基生活的年代，波兰甚至整个欧洲社会并不算稳定，他和家人也曾辗转伦贝格、莫斯科等多个城市，直到第一次世界大战结束后，他才最终在华沙定居，直至离世。

尽管如此，他在一生中一直维持着稳定而高产的学术输出，发表了大量研究论文和专著，它们大多是以他的母语波兰语撰写的。

我们可以简单举几个例子。比如，谢尔宾斯基曾提出过一个猜想：是否存在无限个奇数自然数 k ，使得数列 k·2^n + 1（n 为自然数）仅仅包含合数，而没有素数？

符合这一条件的数字 k 也被称为谢尔宾斯基数。目前我们所知的最小的谢尔宾斯基数是 k=78557 ，由美国数学家约翰·塞尔弗里奇（John Selfridge）于 1962 年提出。但过去半个多世纪中，数学家仍在努力寻找谢尔宾斯基数的下限，也就是最小的一个。2016 年，一项研究发现了一个长达 930 万位的新素数，从而排除了原本最小的谢尔宾斯基数候选数字 10223 。


谢尔宾斯基曲线。

1912 年，谢尔宾斯基对一系列曲线的研究引起了特别关注。这是正方形中的一条封闭路径，根据一则递归定义的规则，它会被越来越“细化”，并逐渐填满了周围的正方形。这条路径会变得无限长，并通过了正方形内部的每一点。但在极限情况下，路径所封闭的区域只有正方形面积的一半。这就是谢尔宾斯基曲线。

此后，数学家还将这类分形升级成了立体图形，包括谢尔宾斯基四面体和门格尔海绵，后者得名于数学家卡尔·门格尔（Karl Menger）。它们也都是分形中的经典。甚至通过特殊的构建方法，数学家还可以在一个 (k-1) 维的空间选取 k 个点，进而构建出广义谢尔宾斯基分形。


门格尔海绵。| 图片来源：Wikimedia Commons

  亦师亦友

对于他的学生而言，谢尔宾斯基同样是亦师亦友的角色。他的学生回忆，他在大学任教期间非常鼓励学术交流，设法创造机会组织学术会议和讨论。

尽管谢尔宾斯基的一生经历了两次世界大战和无数动荡，但很少有学者能像他这样，进行这么多充满创新想法和宝贵结论的研究。

1969 年，谢尔宾斯基于华沙去世，长眠在他深爱的故乡。


谢尔宾斯基的墓地。| 图片来源：Wujektsal via Wikicommons

创作团队：

撰文：Takeko

排版/设计：雯雯

参考来源：

https://chalkdustmagazine.com/bl ... ierpinski-triangle/

https://mathigon.org/course/fractals/sierpinski

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa21/aa2111.pdf

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Strick/sierpinski.pdf

https://www.sciencealert.com/thi ... -decades-old-puzzle

图片来源：

封面图：pixabay

首图：Maksim/Wikimedia Commons