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数学史上最让人百思不得其解的等式：0.999…=1
2022-05-16 20:00
这个迷思可能从小学开始就在你们身边流传了——
因为：1/9 = 0.111…
2/9 = 0.222…
3/9 = 0.333…
……
所以：9/9 = 0.999…
即：0.999… = 1
图 | Pixabay
0.999…= 1 吗？此问题在国内外大大小小的网络社区里出现了无数多次，每次都能引来上百人激烈的争论，可谓是最经久不衰的老问题了。其实，在学术界里，这个问题也是出了名的争论热点。让我们来看看，这个让你百思不得其解的问题，是怎么折磨数学家们的……
最简单的“证明”
最简单的证明就是上文那样：
1/3 = 0.333…
两边同时乘以 3
1 = 0.999…
1998 年，弗雷德·里奇曼（Fred Richman）在《数学杂志》（Mathematics Magazine）上的文章《0.999… 等于 1 吗？》中说到：“这个证明之所以如此具有说服力，要得益于人们想当然地认为第一步是对的，因为第一步的等式从小就是这么教的。”大卫·托（David Tall）教授也从调查中发现，不少学生看了这个证明之后都会转而开始怀疑第一个等式的正确性。
仔细想想你会发现，“1/3 等于 0.333…” 与 “1 等于 0.999…” 其实别无二致，它们同样令人难以接受。正如很多人会认为 “0.999… 只能越来越接近 1 而并不能精确地等于 1” 一样， “0.333… 无限接近但并不等于 1/3” 的争议依旧存在。问题并没有解决。
另一个充满争议的证明
大卫·福斯特·华莱士（David Foster Wallace）在他的 《Everything and More》一书中介绍了另外一个著名的证明：
令 x = 0.999…
所以 10x = 9.999…
两式相减得 9x = 9
所以 x = 1
图 | Pixabay
威廉·拜尔斯（William Byers）在《How Mathematicians Think》中评价这个证明：“0.999…… 既可以代表把无限个分数加起来的过程，也可以代表这个过程的结果。许多学生仅仅把 0.999…… 看作一个过程，但是 1 是一个数，过程怎么会等于一个数呢？这就是数学中的二义性……他们并没有发现其实这个无限的过程可以理解成一个数。看了上面这个证明而相信等式成立的学生，可能还没有真正懂得无限小数的含义，更不用说理解这个等式的意义了。”
逐渐靠谱的证明
等比级数具有这么一个性质：
如果 |r|＜1 ，则 1 + r + r^2 + r^3 + … = 1／(1-r) 。
那么我们就又有了一个快速的证明：
0.999… = 9/10 + 9/10^2 + 9/10^3 + … = 9/10 × (1 + 1/10 + 1/10^2 + 1/10^3 + … ) = 9/10 × 1／(1-1/10) = 1 。
这个证明最早出现在 1770 年大数学家欧拉（Leonhard Euler）的《代数的要素》（Elements of Algebra）中，不过当时他证明的是 10＝9.999… 。
之后的数学课本中渐渐出现了更为形式化的极限证明：
1846 年，美国教科书《大学算术》（The University Arithmetic）里这么说： 在 0.999… 里，每增加一个 9，它都离 1 更近。1895 年的另一本教科书《学校算术》（Arithmetic for School）则说：如果有非常多的 9，那么它和 1 就相差无几了。意外的是，这些“形象的说法”却适得其反， 学生们常常以为 0.999… 本身其实是比 1 小的。
随着人们对实数更加深入的理解，0.999… = 1 有了一些更深刻的证明。1982 年，巴图（Robert. G. Bartle）和谢波特（D. R. Sherbert）在《实分析引论》（Introduction to Real Analysis）中给出了一个区间套的证明：
给定一组区间套，则数轴上恰有一点包含在所有这些区间中；0.999… 对应于区间套 [0,1]、[0.9,1]、[0.99,1]、[0.999,1] … ，而所有这些区间的唯一交点就是 1，所以 0.999… = 1。
弗雷德·里奇曼的文章《0.999… 等于 1 吗？》里则用戴德金分割给出了一个证明：
所有比 0.999… 小的有理数都比 1 小，而可以证明所有小于 1 的有理数总会在小数点后某处异于 0.999… （因而小于 0.999… ），这说明 0.999… 和 1 的戴德金分割是一模一样的集合，从而说明 0.999… = 1 。
格里菲思（H. B. Griffiths）和希尔顿（P. J. Hilton）在 1970 年出版的《A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics: A Contemporary Interpretation》中，用柯西序列给出了另一个证明。
从未停止过的讨论
尽管证明越来越完备，学生们的疑惑却从来没有因此减少。在品托（Pinto）和大卫·托教授的一份调查报告中写到，当学生们用高等方法证明了这个等式之后，会大吃一惊地说，这不对呀，0.999… 显然应该比 1 小呀。
在互联网上，这个等式的魅力也依然不减。辩论 0.999… 是否等于 1 被讨论组 sci.math 评为“最受欢迎的运动”，各类问答网站中也总是会有网友激烈的讨论。
一个八卦，诺贝尔奖获者费曼（Richard Feynman）也用这个等式开过一句玩笑：“如果让我背圆周率，那我背到小数点后 762 位，然后就说 99999 等等等，就不背了。”
这句话背后的笑点很奇怪：从 π 的小数点后 762 位开始，出现了连续的 6 个 9，偏偏在这里来一个“等等等”，就会给人感觉好像后面全是 9，这相当于把 π 变成了一个有限小数。此后，π 的小数点后 762 位就被戏称为了费曼点（Feynman Point）。
作者：pondering |
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狗仔卡
发表于 2022-5-20 19:42
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显身卡
发表于 2022-5-21 12:43
举个雅俗共赏的例子：我要知道sin（27度）是多少？各位有能人能告诉我精确值吗？