已知 a^n≥b（b＞1 是给定值），求使得 na 取到最小值的正数 a 和正数 n

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a的n次方大于b
an最小
a为
e吗？
求证明

luyuanhong

波斯猫猫

题：已知 a^n≥b（b＞1 是给定值），求使得 na 取到最小值的正数 a 和正数 n 。

思路：a^n≥b（b＞1 是给定值），即nlna≥lnb＞0（a＞1），或na≥alnb/lna 。

又由(a/lna)ˊ=0易得lna=1，即a=e，且(a/lna)min=e，故(na)min=elnb 。此时n=lnb 。

从而na 取到最小值elnb时，正数 a=e ,正数 n=lnb 。