\(\mathbf{康托尔基本数列与“曹托尔”基本数列的区别与联系}\)

春风晚霞

       有一段时间没来网上与众网友交流了，Jzkyllcjl先生在多个主题下多次(即每个主题下都不少于3次)，对我提出了【春风晚霞的“曹拓尔数列”的说法是不了解康托尔基本数列定义 的污蔑】的批评。故此将康托尔基本序列与“曹托尔”基本数列的区别与联系罗列于次：
一、两种基本数列的区别
1、两种基本数列的定义不同
1)、康托尔基本数列的定义(参见夏道行等著《实变函数论与泛函分析》P62页)：
       定义：设数列\(\small a_1\)，\(\small a_2\)，\(\small a_3\) ，…，\(\small a_n\),…都是有理数.假如对于任意的正有理数ε，有自然数N使得当n，m≥N时有不等式| \(\small a_n-a_m\) |<ε成立，就称{ \(\small a_n\) }是基本有理数列.
2)、“曹托尔”基本数列的定义(参见jzkyllcjl关于“现实实数”论述的贴文)：
       定义：实数b针对误差界数列{1/10^n 的不足近似值无穷数列\(\small b_0.b_1\)，\(\small b_0.b_1b_2\)，\(\small b_0.b_1b_2b_3\)…，\(\small b_0.b_1b_2…b_n\)…为“曹托尔”基本数列。
2、两种基本数列的认识根源不同
1)、康托尔基本序列来源于康托尔以前的数学社会的公众实践。
2)、“曹托尔”基本数列来源于对康托尔基本数列的剽窃和篡改。
3、两种基本数列的适用范围不同
1)、以康托尔基本数列为依据的实数理论，兼容康托尔以前的一切数学成果。
2)、以“曹托尔”基本数列为依据的“现实实数”臆想，全面否定“曹托尔”以前的一切数学成就！
4、两种基本数列完备与否不同
1)、以康托尔基本数列为基础的实数理论，能在自已的体系内，计算出任何实数指定精确度的值。
2)、以“曹托尔”基本数列为基础的构思，离开“曹托尔”拼命反对的现行实数理论，写不出任何非循环小数的“曹托尔”基本数列。
5、两种基本数列的应用结果不同
1)、每个实数的康托尔基本数列都唯一确定这个实数的值(即任何实数都等于它自身)。
2)、每个“曹托尔”基本数列都是一个数列的简写。对某一实数的“曹托尔”基本数列施行“趋向性极限”运算后得到这个实数的近似值(也就任何实数，都不等于它自身)。
6、\(\mathbf{特别注意}\)：任何常数列都是康托尔基本数列，但任何常数列都不是“曹托尔”基本数列！
二、两种基本数列的联系
       “曹托尔”基本数列是剽窃康托尔基本数列而得，因此它最多只是康托尔基本数列的特例。由于“曹托尔”基本数列是篡改康托尔基本数列而得，所以“曹托尔”基本数列本质上不是康托尔基本数列。

jzkyllcjl

春风晚霞;: 欢迎你再来。现在给你一个简单的答复。第一，你的“6，特别注意：任何常熟数列狗都是康托尔基本数列”是不了解康托尔基本数列定义，的论述。因为康托尔基本数列中的数 都是有理数。 第二，笔者提出了“所有无尽小数都是写不到底、算不到底的事物，都不是定数，而是收敛无穷数列的简写，其极限才是实数，而且极限值具有变量性数列达不到的性质，许多实数需要使用十进小数近似表示的实数理论改革意见”。例如“1被3除的运算，永远除不尽，得到的只能是理想实数1/3的针对误差界数列1/10^n 的全能不足近似值的无穷数列0.3,0.33,0.333,……，这个数列的极限才是理想分数1/3 ，虽然这个这个数列可以简写为无尽小数0.333……，但根据这个数列中的数都是十进小数，而十进小数是有理数，可知这个数列是康托尔实数定义中基本数列（春风晚霞的“是曹拓尔数列的说法是不了解康托尔基本数列定义 的污蔑”；这个数列是无穷数列性质的变数，虽然这个数列的极限是1/3,但变量性无穷数列只能趋向于它的极限值，永远达不到它的极限值。无穷数列｛n｝只能趋向于∞， 但不能达到∞。无穷数列0.3,0.33,0.333,……，永远小于1/3,永远不等于1/3，现行教科书 中的等式0.333……=1/3是概念混淆的等式”。第三，
在无尽小数不等于实数的事实与无穷次判断进行不到底的事实下，康托尔使用对角线方法得到的“闭区间[0,1]表示的理想实数集合不可数定理”的证明无根据；这就消除了“连续统假设的大难题。春风晚霞称这个假设是公理的意见不成立”。第三，你叙述的曹托儿基本数列定义，不符合我上述第二中的的叙述。第三，关于实数与现实数量的关系 我提出的是如下的定义与公理。
定义6（理想实数的非形式化定义）： 现实数量的大小（包括现实线段、时段长度、角度大小）具有可变性、测不准性；但在相对性与暂时性的忽略微小误差的抽象方法下，可以认为：每一个现实数量都有确定的大小。因此，可以提出：现实数量大小（例如线段、时段长度、角度大小）的没有误差的绝对准表达符号叫做理想实数（简称为实数）。其中不能用有理数绝对准表达的理想实数都叫无理数（例如：π与√32 ）。
公理1（实数公理）：每一个理想实数α 都存在着以它为趋向性极限值的康托尔的以有理数（包括十进小数）为项的基本数列，除0以外的每一个理想正实数α 都存在唯一的满足条件α-1/10^n<An <α 的，以n位十进小数 为通项的、理想实数 的全能不足近似值的康托儿基本数列An，这个基本数列可以简写为无尽小数。但与文献[10]87页的：“称无尽小数为实数”的定义不同，根据通项满足的条件，就可以知道：无尽小数的趋向性极限才真正是理想实数。所有无尽小数都具有“①无尽是按照一定法则无限延续下去的意义；②无限延续是永远延续不到底的操作”的对立统一的两个性质。这种基本数列收敛于这个理想实数 。反之，每一个康托尔实数理论中基本数列（或称以有理数为项的柯西基本数列），都有无限延续下去的通项表达式，都存在一个唯一的理想实数 （简称为实数）为其极限，等价(也称全能近似相等)的康托儿基本数列的极限相同；而且全能近似数列具有永远算不到底的性质，只要算到满足具体问题的确定的具体误差界的足够准近似值就行了。
第四，我还有理想点、理想直线、理想平行线、理想函数 了；理想导数、理想定积分 等许多叙述，你烧了我的书，你就看不到了，你只能瞎说。 。

春风晚霞

\(\mathbf{特别注意}\)：因为康托尔基本数列和“曹托尔”基本数列，都是针对有理数列而言的。所以，〖任何常数列都是康托尔基本数列，但任何常数列都不是“曹托尔”基本数列〗中的常数当然是指有理数，如常数列{a，a，a，…} a∈Q，因a是常数，所以对任给的正有理数ε和自然数N。恒有不等式| a-a |=0<ε成立，所以常数列{ a }就是康托尔基本数列，而不是“曹托尔”基本数列！2#的其它言论，既是陈词烂调，也是胡说八道。故尔，不值得商榷。

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-5-30 01:45
\(\mathbf{特别注意}\)：因为康托尔基本数列和“曹托尔”基本数列，都是针对有理数列而言的。所以，〖任何 ...

春风晚霞： 你说的以有理数a 为常数的数列；只是康托尔基本数列中的一个特例，不能以特例代表一般。我没有提出曹托儿基本数列的定义，你的曹托儿基本数列定义是你捏造出来的。我说了“无尽小数都是康托尔基本数列的间隙嗯”是对的。 事实上0.333……是“1被3除的运算，永远除，得到的只能是理想实数1/3的针对误差界数列1/10^n 的全能不足近似值的无穷数列0.3,0.33,0.333,……，这个数列的极限才是理想分数1/3 ，虽然这个这个数列可以简写为无尽小数0.333……，但根据这个数列中的数都是十进小数，而十进小数是有理数，可知这个数列是康托尔实数定义中基本数列（春风晚霞的“是曹拓尔数列的说法是不了解康托尔基本数列定义 的污蔑”；这个数列是无穷数列性质的变数，虽然这个数列的极限是1/3,但变量性无穷数列只能趋向于它的极限值，永远达不到它的极限值。无穷数列｛n｝只能趋向于∞， 但不能达到∞。无穷数列0.3,0.33,0.333,……，永远小于1/3,永远不等于1/3，现行教科书 中的等式0.333……=1/3是概念混淆的等式”。无尽不循环小数1.41421356……，3.1415926……也是如此。'"称无尽小数为实数”的现行教科书的定义，造成了布劳威尔反例与连续统假设的悖论，所以这个实数定义必须改革。 ，

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-5-30 15:27
春风晚霞： 你说的以有理数a 为常数的数列；只是康托尔基本数列中的一个特例，不能以特例代表一般。我 ...

Jzkyllcjl,根据康托尔基本有理数列的定义：设数列\(\small a_1\)，\(\small a_2\)，\(\small a_3\) ，…，\(\small a_n\),…都是有理数.假如对于任意的正有理数ε，有自然数N使得当n，m≥N时有不等式| \(\small a_n-a_m\) |<ε成立，就称{ \(\small a_n\) }是基本有理数列.康托尔基本有理数列的一般形式是凡能满足条件：对于任意的正有理数ε，有自然数N使得当n，m≥N时有不等式| \(\small a_n-a_m\) |<ε成立的有理数列{ \(\small a_n\) }都叫基本有理数列。所以，以常数列｛a｝a∈Q是\(\mathbf{基本有理数列}\)。从你给出的康托尔实数定义看对于形如\(\sqrt 3\)、\(e^\sqrt 5\)…这些常数所成的数列也叫\(\mathbf{康托尔基本数列。}\)无尽循环小数0.333…是康托尔基本数｛0.3 ，0.33，0.333，…｝中的一项，而不是这个基本有理数列的简写！【称“无尽小数为实数”的现行教科书的定义，造成了布劳威尔反例与连续统假设的悖论】，那是对现行实数理论的栽脏和诬陷。不过，你连马克思的级数等式都要胡乱解释。故此，你栽脏和诬陷现行实数理论也就没有什么奇怪的了。

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-5-30 09:11
Jzkyllcjl,根据康托尔基本有理数列的定义：设数列\(\small a_1\)，\(\small a_2\)，\(\small a_3\) ，… ...

春风晚霞：你是理科正教授，我想你能根据康托尔基本数列的定义证明无穷数列0.3,0.33,0.333,……，是康托尔基本数列，但想不到，你不去证明这件事，反而提出许多反对意见。现在 你又说
【无尽循环小数0.333…是康托尔基本数｛0.3 ，0.33，0.333，…｝中的一项，】但事实上这个数列中的每一项都是有尽位十进小数的有理数，而不是无尽小数。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-5-31 07:21
春风晚霞：你是理科正教授，我想你能根据康托尔基本数列的定义证明无穷数列0.3,0.33,0.333,……，是康托 ...

Jzkyllcjl先生：
       第一、根据康托尔基本数列的定义极易证明无穷数列0.3,0.33,0.333,……是康托尔基本数列。现证明如下：
       证明：数列0.3,0.33,0.333,…的通项为\(a_n\)=\(3\over 10\)+\(3\over 100\)+…+\(3\over 10^n\)=\(1\over 3\)(1-\(1\over 10^n\))即：\(a_n\)=\(1\over 3\)(1-\(1\over 10^n\))，于是对任给的m，n(不妨设m>n)∈N，有| \(a_m-a_n\) |<\(2\over 3\)\(\times\)\(1\over 10^n\)。所以，对任意给定的正数ε，存在K=【log\(3\over 2ε\)】，当n，m≥K时恒有| \(a_m-a_n\) |<ε。所以，数列0.3,0.33,0.333,…是康托尔基本有理数列。
       【注意】：现行实数理论中，每个康托尔基本有理数列都表示一个确定的实数。
第二、康托尔实数理论中两实数相等的定义
       要判定两实数是否相等，在有限范围内我们可用差值法、商值法、逐位比较法，…；由于这些方法都涉及到“写得到底、算得到底”的问题。所以要判定“写不到底”，但“算”得到底的无尽小数是否相等，康托尔给出了一个行之有效，且兼容以往的方法。因为在康托尔实数理论中，每个康托尔基本有理数列都表示一个确定的实数。所以，两个康托尔基本有理数相等也就是两个实数相等。
       定义：设数列{ \(a_n\) }和{ \(b_n\) }是两个基本有理数列，若对任意正有理数ε，有自然数N使得n≥N时不等式| \(a_n-b_n\) |<ε成立。则称基本有理数列{ \(a_n\) }与{ \(b_n\) }相等，记为{ \(a_n\) }={ \(b_n\) }。
       根椐这个定义，我们不难证明基本有理数列{2，2，2，…}和基本有理数列{6/3，6/3，6/3，…}相等，从而证得有理数2=\(6\over 3\)。同理可证，有理基本数列{0.9，0.99，0.999，…}={1，1，1，…}，从而有1=0.999…。类此我们可证得\(1\over 3\)=0.333…；π=3.14159265……；\(\sqrt 3\)=1.73205080…；…等等。至于【无尽循环小数0.333…是康托尔基本数｛0.3 ，0.33，0.333，…｝中的一项】，这是显然的。虽然这个数列中的每个有限项都是有尽位十进小数的有理数，然而它的无限项呢，你考虑过吗！？

elim

jzkyllcjl 是具有不住吃狗屎啼猿声性质的学渣，不是可以教育好地。

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-5-31 03:36
Jzkyllcjl先生：
       第一、根据康托尔基本数列的定义极易证明无穷数列0.3,0.33,0.333,……是康托 ...

春风晚霞：第一，你的第一证明了数列0.3,0.33,0.333,…是康托尔基本有理数列。这个目的是应当的，但你的通项算错了 通项是33……3（n个3）/10^n. 粗咬你更正。
第二。你的第二中说的两个基本数列相等的定义，我没有看到。我看到的是华东师大《数学分析上册》1988年印刷 320-321中的等价基本数列的定义。等价并不是相等，。而是其差趋向于0. 所以我不同意你的相等的定义。 不同你的0.9，0.99，0.999……等于1，1，1，……的论述。第三，我不同意你的【无尽循环小数0.333…是康托尔基本数｛0.3 ，0.33，0.333，…｝中的一项，这是显然的。】的说法，因为：这个数列中的每个有限项都是有尽位十进小数的有理数，只有把无限项看做一个整体时，才可以说这个无穷数列的整体可以说是无尽小数。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-5-31 16:18
春风晚霞：第一，你的第一证明了数列0.3,0.33,0.333,…是康托尔基本有理数列。这个目的是应当的，但你的 ...

Jzkyllcjl先生：
       第一、根据你的说法，数列0.3,0.33,0.333,…通项是\(a_n\)=33……3（n个3）/10^n.现在我们证明33……3（n个3）/10^n=\(1\over 3\)(1-\(1\over 10^n\)).
证明：∵  33……3（n个3）/10^n=\({{3\times 10^{n-1}+3\times 10^{n-2}+3\times 10^{n-3}+…+3\times 10^1+3\times 10^0}\over{10^n}}\)=\(3\over 10^1\)+\(3\over 10^2\)+\(3\over 10^3\)+…+\(3\over 10^n\)=\(1\over 3\)(1-\(1\over 10^n\))〖等比数列前n项和公式〗。所以，数列0.3,0.33,0.333,…通项是\(a_n\)=\(1\over 3\)(1-\(1\over 10^n\))。
       第二、两个基本数列相等的定义请参见夏道行等著《实变函数论与泛函分析》上册第二版P62页第5—8行。康托尔实数理论中把等价的基本数列归为一类，每一类表示一个实数的定义是正确的。根据等价的反身性，任何实数都与它身等价。你不同意1=0.9999…没有什么关系。数学规律是客观的，正所谓“天行有常，不为尧存，不为桀亡”。你半个多世纪反对现行的实数理论，有谁理你？
       第三、〖无尽循环小数0.333…是康托尔基本数｛0.3 ，0.33，0.333，…｝中的一项，这是显然的〗。因为你的“曹托尔”基本数列｛0.3 ，0.33，0.333，…｝是无穷数列，正如你所说“所谓无穷就是没有穷尽，没有终了”之意。所以，你的“曹托尔”基本数列就应该有无穷多项。又因该数列的第一项是0.3(小数点后有一个3)；第二项为0.33(小数点后有二个3)；…，第n项为0.333…3(小数点后有n个3)；那么第无穷项当然就是0.333…(小数点后有无穷个3)了。虽然“曹托尔”数列中的【每个有限项都是有尽位十进小数的有理数】，但这并不能说明该数列的第无限项也是“有尽位十进小数的有理数”嘛！jzkyllcjl先生，你应该知道恩格斯的辩证无穷认为：有限个有限组成仍是有限;只有无限多个有限才组成无限！