设 a,b,c 为实数，已知 abc=1／2 且 a+b+c=1 ，求 ｜a｜+｜b｜+｜c｜ 的最小值

richman

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波斯猫猫

题：设 a,b,c 为实数，已知 abc=1／2 且 a+b+c=1 ，求 ｜a｜+｜b｜+｜c｜ 的最小值 。

思路：由 abc=1／2 知，a,b,c中只能三个都为正，或一个为正两个为负。

(1)若a,b,c中三个都为正，则b+c=1-a，bc=1／(2a)，其中0＜a＜1。

这时b,c是方程x^2+(a-1)x+1／(2a)=0的根，且由判别式又有a≥2。这显然不可能。

(2)若a,b,c中一个为正两个为负，根据对称性，不妨令a＞0，

则｜a｜+｜b｜+｜c｜=a-b-c=a-(b+c)=a-(1-a)=2a-1。

由abc=1／2 且 a+b+c=1消去c得a+b+1／(2ab)=1，即2ab^2+2a(a-1)b+1=0。

因b∈R，故由2ab^2+2a(a-1)b+1=0的判别式易得a≥2。

从而，｜a｜+｜b｜+｜c｜=2a-1≥3，即(｜a｜+｜b｜+｜c｜)min=3,

此时a=2，b=c=-1/2。

luyuanhong

richman

謝謝陸老師跟猫猫詳細解說，已經搞定