a,b,c＞0,a^(3/2)+b^(3/2)+c^(3/2)=1，证：abc≤1/9，a/(b+c)+…+c/(a+b)≤1/(2√abc)

Nicolas2050

2022年高考数学不等式证明

波斯猫猫

题：a,b,c＞0,a^(3/2)+b^(3/2)+c^(3/2)=1，证：abc≤1/9，a/(b+c)+…+c/(a+b)≤1/(2√abc) 。

思路：因a,b,c∈R+，所以

(1)1=a^(3/2)+b^(3/2)+c^(3/2)≥3(abc)^(1/2)，平方得abc≤1/9。

(2)a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)≤a/[2√(bc)]+b/[2√(ac)]+c/[2√(ab)]

=a√a/[2√(abc)]+b√b/[2√(abc)]+c√c/[2√(abc)]=(a√a+b√b+c√c)/[2√(abc)]=1/(2√abc) ，

即  a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)≤1/(2√abc) (当且仅当a=b=c=3^（1/3）/3时，等号成立)。

luyuanhong

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波斯猫猫

波斯猫猫 发表于 2022-6-8 10:07
题：a,b,c＞0,a^(3/2)+b^(3/2)+c^(3/2)=1，证：abc≤1/9，a/(b+c)+…+c/(a+b)≤1/(2√abc) 。

思路：因a ...

llshs好石
猫猫基础扎实  发表于 2022-6-8 11:39

不敢！小学比到人家抄，初高中在乡小学校混日子，天天早上下午参加集体生产劳动。

波斯猫猫

题：a,b,c＞0,a^(3/2)+b^(3/2)+c^(3/2)=1，证：a/(b+c)+…+c/(a+b)≤1/(2√abc) 。

因a,b,c∈R+，所以由a^(3/2)+b^(3/2)+c^(3/2)=1，有1=a√a+b√b+c√c，

即1/[2√(abc)]=a/[2√(bc)]+b/[2√(ac)]+c/[2√(ab)]≥a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)，

或a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)≤1/(2√abc)  (当且仅当a=b=c=3^（1/3）/3时，等号成立)。