已知 a,b,c＞0 ，证明不等式：(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)≥2[1+(a+b+c)/(abc)^(1/3)]

Nicolas2050

1998亚太数学奥林匹克竞赛(APMO)不等式题目

天山草

天山草

以上解答是由【初等数学讨论】网站的版主 kuing 给出的。这位是解不等式的民间大师。

http://kuing.infinityfreeapp.com ... &extra=page%3D1

波斯猫猫

题：已知 a,b,c＞0 ，证明不等式：(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)≥2[1+(a+b+c)/(abc)^(1/3)]。

证：因 a,b,c∈R+，所以

(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)=2+b/a+c/a+a/b+c/b+a/c+b/c

=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)-1≥3(a+b+c)/(abc)^(1/3)-1

=2(a+b+c)/(abc)^(1/3)+(a+b+c)/(abc)^(1/3)-1

≥2(a+b+c)/(abc)^(1/3)+2=2[1+(a+b+c)/(abc)^(1/3)]，

即(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)≥2[1+(a+b+c)/(abc)^(1/3)](仅当a=b=c时等号成立)。

luyuanhong

楼上 天山草 和 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。