a,b 为正整数，已知 a+b=20 ，求 a^2×b 的最大值

xfhaoym

a,b为正整。a+b=20. 求(a^2)*b的最大值  （说是高人3分钟就能得到答案）这里不要求3分钟，只一般中学生通过演算就行。

波斯猫猫

a,b为正整。a+b=20. 求(a^2)b的最大值。
∵20=a/2+a/2+b≥3[(a^2)b/4]^(1/3)，∴(a^2)b≤32000/27。

lihp2020

正整  不是该 分别带入 （19,1） (18,2)(17,3) ..验证？

波斯猫猫

题：a,b为正整。a+b=20. 求(a^2)b的最大值。
∵20=a/2+a/2+b≥3[(a^2)b/4]^(1/3)，∴(a^2)b≤32000/27。
这个确实该反对！因没有看清条件是“a,b为正整数“。但是

小fisher

f(a)=a^2*(20-a)=20a^2-a^3
f'(a)=40a-3a^2=a(40-3a)
当f'(a)>0，即0<a<40/3（13.33...）时，f(a)随a的增大而增大，即有f(1)<f(2)<...<f(13)，f(14)>f(15)>...>f(20)
比较f(13)=1183和f(14)=1176，发现当a=13时，f(a)有最大值1183

波斯猫猫

题：a，b为正整数。a+b=20. 求(a^2)b的最大值。

∵20=a/2+a/2+b≥3[(a^2)b/4]^(1/3)，∴(a^2)b≤32000/27=1185+5/27。

当且仅当a=40/3，b=20/3时等号成立。

因a，b为正整数，故取[a]=14，[b]=6，算得(a^2)b=1176。

[a]=13，[b]=7，算得(a^2)b=1183。

[a]=12，[b]=8，算得(a^2)b=1152。

故，当[a]=13，[b]=7时，[(a^2)b]max=1183。

xfhaoym

上面两位正确！

luyuanhong

楼上 小fisher 和 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。