已知 (a+b),(b+c),(a+c) 是三角形的三边长，且 a+b+c=21 和 abc=336 ，求三角形的面积

popo987654

已知 (a+b),(b+c),(a+c) 是三角形的三边长，且 a+b+c=21 和 abc=336 ，求三角形的面积

请问数学，想学习好的解题方法

Nicolas2050

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luyuanhong

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波斯猫猫

题：已知 (a+b),(b+c),(a+c) 是三角形的三边长，且 a+b+c=21 和 abc=336 ，求三角形的面积 。

思路：设 (a+c) 与 (b+c) 的夹角为 θ ，由余弦定理有

(a+b)^2=(a+c)^2+(b+c)^2-2(a+c)(b+c)cosθ ，

或 ab=c^2+c(21-c)-(a+c)(b+c)cosθ ，即 21c-ab=(ab+21c)cosθ 。

又其面积 S 满足 2S=(a+c)(b+c)sinθ ，即 2S=(ab+21c)sinθ 。

故 4S^2=(ab+21c)^2-(21c-ab)^2=4×21abc=4×21×336 ，即 S=84 。

luyuanhong

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波斯猫猫

题：已知 (a+b),(b+c),(a+c) 是三角形的三边长，且 a+b+c=21 (a,b,c∈R+)，求三角形的最大面积 。

思路：设 (a+c) 与 (b+c) 的夹角为 θ ，由余弦定理有

(a+b)^2=(a+c)^2+(b+c)^2-2(a+c)(b+c)cosθ ，

或 ab=c^2+c(21-c)-(a+c)(b+c)cosθ ，即 21c-ab=(ab+21c)cosθ 。

又其面积 S 满足 2S=(a+c)(b+c)sinθ ，即 2S=(ab+21c)sinθ 。

故 4S^2=(ab+21c)^2-(21c-ab)^2=4×21abc≤4×3× 49^2，即 S≤49√3。

天山草

luyuanhong

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