过 (1／3,0) 点的直线与单位圆交于 A,B ，C 是单位圆上另一点，求 ΔABC 面积的最大值

dodonaomikiki · 发表于 2022-6-28 12:01

想搞一个基础的趣味题：  求最大内接三角形，过点（1/3，0）

圆半径\(    =1，    \)也就是一个单位圆。
这个圆里面呢有一点\(    P（  \frac{1}{3},  0）    \)
有一条直线 \(    \ell       \) 经过该点，交园于\(    A,B    \)

然后在园上面取一点\(    C       \)    ，
这样的话，\(    ABC       \)构成一个面积最大三角形。
请问，点\(    C       \)  应该怎么取呢？
备注：不允许应用点到直线的距离公式

dodonaomikiki · 发表于 2022-6-28 12:04

我想看看有无巧法？
也就是通过直觉，直观之下，有无巧妙之法？
抑或用到比较少的计算方法，也推崇！

想突破教科书，
拓展一下对于平几的认识

dodonaomikiki · 发表于 2022-6-28 12:14

内接正三角形，
肯定是作不了的！

因为一目了然的是，原点到正三角形其中一边的最短距离。
也就是垂直距离，
乃是 \( 0，5 \)
绝对超过 \( \frac{1}{3} \)
所以不行

dodonaomikiki · 发表于 2022-6-28 12:22

如果点\(    P    \)落在直径上，
那么点\(    C    \)  落在正交直径的一个端点上，
那么，
取到的内接三角形面积
\(    =\pi  \bullet  1 \bullet  1    \)
\(    =\pi    \)

好像不行，
应该不是最大的

Nicolas2050 · 发表于 2022-6-28 12:47

:lol；你咋不搞个QQ群呢

dodonaomikiki · 发表于 2022-6-28 13:19

谢谢泥姑支持

dodonaomikiki · 发表于 2022-6-28 13:19

继续

思考

simpley · 发表于 2022-6-28 15:10

AB斜着画，就可以得正三角形

simpley · 发表于 2022-6-28 15:30

过C点作直线垂直X轴。

lihp2020 · 发表于 2022-6-28 15:35

结论1：圆内最大的三角形是圆内接等边三角形
过任意点P 做个圆内最大的三角形
如果点到圆心路径<1/2R 就做不出圆内接等边三角形
如果点到圆心路径>=1/2R 都可以做出圆内接等边三角形
如果点到圆心路径<1/2R 做个最大的三角形
应该是
连接圆心O 与点P 直线op交圆的优弧那一边与点A
过P点做op的垂线交圆与BC两点
三角形ABC就是过点P的面积最大圆内接三角形

		自动登录	找回密码
密码			注册

过 (1／3,0) 点的直线与单位圆交于 A,B ，C 是单位圆上另一点，求 ΔABC 面积的最大值

本帖子中包含更多资源

本帖子中包含更多资源

本帖子中包含更多资源

点评

点评