趣题分享：解方程 3^x+4^x-6^x=1 ，求 x 的实数解

elim

题： 求方程 \(3^x+4^x-6^x=1\) 的实数解.

luyuanhong

显然 x=0 和 x=1 是这方程的两个实数解，问题是：要证明方程只有这两个实数解。

elim

\(\because\quad 3^x+4^x-6^x-1=(2^x-1)(2^x-3^x+1),\)
\(\therefore\quad 2^x=1\) 或 \(f(x):=\left(\dfrac{1}{3}\right)^x+\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=1\)
因为\(\,f\,\)严格减 (f' < 0)，所以 \(x=0,\, 1\) 以外没有原方程的解.

luyuanhong

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